Para determinar a multiplicidade da raiz 1 do polinômio \(2x^5 - 5x^4 + 10x^2 - 10x + 3 = 0\), precisamos verificar se \(x = 1\) é uma raiz e, em caso afirmativo, quantas vezes ela se repete. 1. Substituindo \(x = 1\) no polinômio: \[ 2(1)^5 - 5(1)^4 + 10(1)^2 - 10(1) + 3 = 2 - 5 + 10 - 10 + 3 = 0 \] Portanto, \(x = 1\) é uma raiz. 2. Para encontrar a multiplicidade, precisamos derivar o polinômio e verificar se a raiz se mantém. Vamos derivar o polinômio: \[ f'(x) = 10x^4 - 20x^3 + 20x - 10 \] Agora, substituímos \(x = 1\) na derivada: \[ f'(1) = 10(1)^4 - 20(1)^3 + 20(1) - 10 = 10 - 20 + 20 - 10 = 0 \] A derivada também é zero, o que indica que a multiplicidade é pelo menos 2. 3. Derivamos novamente para verificar a multiplicidade: \[ f''(x) = 40x^3 - 60x^2 + 20 \] Substituindo \(x = 1\) na segunda derivada: \[ f''(1) = 40(1)^3 - 60(1)^2 + 20 = 40 - 60 + 20 = 0 \] A segunda derivada também é zero, indicando que a multiplicidade é pelo menos 3. 4. Derivamos uma terceira vez: \[ f'''(x) = 120x^2 - 120x \] Substituindo \(x = 1\) na terceira derivada: \[ f'''(1) = 120(1)^2 - 120(1) = 120 - 120 = 0 \] A terceira derivada também é zero, indicando que a multiplicidade é pelo menos 4. 5. Derivamos uma quarta vez: \[ f^{(4)}(x) = 240x - 120 \] Substituindo \(x = 1\) na quarta derivada: \[ f^{(4)}(1) = 240(1) - 120 = 240 - 120 = 120 \] A quarta derivada não é zero, o que indica que a multiplicidade da raiz \(x = 1\) é exatamente 4. Portanto, a alternativa correta é: A. multiplicidade 4.