Para que três números \(x\), \(y\) e \(z\) formem uma progressão aritmética (PA) e uma progressão geométrica (PG), precisamos considerar as definições de cada uma. 1. Progressão Aritmética (PA): Os números \(x\), \(y\) e \(z\) formam uma PA se \(y - x = z - y\). Isso implica que \(y\) é a média aritmética de \(x\) e \(z\), ou seja, \(y = \frac{x + z}{2}\). 2. Progressão Geométrica (PG): Os números \(x\), \(y\) e \(z\) formam uma PG se \(\frac{y}{x} = \frac{z}{y}\). Isso implica que \(y^2 = xz\). Agora, analisando as opções: a) \(x < y < z\): Isso pode ser verdade, mas não é uma afirmação garantida. b) \(x > y > z\): Isso também pode ser verdade, mas não é garantido. c) \(x = y = z\): Se \(x\), \(y\) e \(z\) forem iguais, eles formam tanto uma PA quanto uma PG. Essa é uma afirmação verdadeira. d) \(x < y = z\): Isso não é possível, pois se \(y = z\), não formariam uma PA. e) \(x = y < z\): Isso não é possível, pois se \(x = y\), não formariam uma PA. Dessa forma, a única afirmação que é sempre verdadeira para os três números \(x\), \(y\) e \(z\) que formam tanto uma PA quanto uma PG é: c) \(x = y = z\).