Para resolver essa questão, precisamos encontrar a interseção dos segmentos AB e CD, que é o ponto P, e depois calcular as áreas dos triângulos APC e BPD. 1. Encontrar o ponto P (interseção de AB e CD): - A reta AB passa pelos pontos A(1, 1) e B(3, 4). A equação da reta pode ser encontrada usando a fórmula da inclinação: \[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - 1}{3 - 1} = \frac{3}{2} \] A equação da reta na forma \(y = mx + b\) é: \[ y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1) \implies y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} \] - A reta CD passa pelos pontos C(1, 5) e D(3, 2): \[ m_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{2 - 5}{3 - 1} = -\frac{3}{2} \] A equação da reta é: \[ y - 5 = -\frac{3}{2}(x - 1) \implies y = -\frac{3}{2}x + \frac{13}{2} \] - Igualando as duas equações para encontrar P: \[ \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}x + \frac{13}{2} \] Resolvendo, encontramos \(x = 3\) e substituindo para encontrar \(y\), obtemos \(y = 4\). Portanto, P(3, 4). 2. Calcular as áreas dos triângulos: - Área do triângulo APC: Usando a fórmula da área de um triângulo com vértices em coordenadas: \[ A = \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) | \] Para A(1, 1), P(3, 4), C(1, 5): \[ A_{APC} = \frac{1}{2} | 1(4 - 5) + 3(5 - 1) + 1(1 - 4) | = \frac{1}{2} | 1(-1) + 3(4) + 1(-3) | = \frac{1}{2} | -1 + 12 - 3 | = \frac{1}{2} | 8 | = 4 \] - Área do triângulo BPD: Para B(3, 4), P(3, 4), D(3, 2): \[ A_{BPD} = \frac{1}{2} | 3(4 - 2) + 3(2 - 4) + 3(4 - 4) | = \frac{1}{2} | 3(2) + 3(-2) + 0 | = \frac{1}{2} | 6 - 6 | = 0 \] 3. Calcular a expressão 3a + 6b: - Com \(a = 4\) e \(b = 0\): \[ 3a + 6b = 3(4) + 6(0) = 12 + 0 = 12 \] Portanto, a resposta correta é (e) 12.