Para analisar a convergência da série infinita \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^p}\), precisamos considerar o valor de \(p\). 1. Convergência Absoluta: A série converge absolutamente se a série dos módulos \(\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n^p}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) convergir. Essa série converge se \(p > 1\) (pelo teste da p-série). 2. Convergência Condicional: A série original é uma série alternada. Pelo teste da série alternada, ela converge se \(a_n = \frac{1}{n^p}\) é decrescente e tende a zero. Isso acontece para \(p > 0\). Portanto, a série converge condicionalmente para \(0 < p < 1\) e diverge para \(p \geq 1\). Agora, analisando as alternativas: a) A série converge absolutamente para todos os valores de \(p > 0\. - Incorreta, pois converge absolutamente apenas para \(p > 1\). b) A série diverge para todos os valores de \(p ≥ 1\. - Incorreta, pois para \(p = 1\) a série converge condicionalmente. c) A série converge condicionalmente para \(0 < p < 1\) e diverge para \(p ≥ 1. - Correta, pois é exatamente o que foi analisado. d) A série converge para todos os valores de \(p. - Incorreta, pois não converge para \(p \geq 1\). Portanto, a alternativa correta é: c) A série converge condicionalmente para 0 < p < 1 e diverge para p ≥ 1.