Vamos resolver o problema passo a passo. Seja os quatro números inteiros \( a, b, c, d \). A brincadeira consiste em fazer o seguinte: 1. Somar três números e dividir por 3. 2. Somar o resultado com o quarto número. As quatro formas de fazer isso resultam em 17, 21, 23 e 29. Vamos expressar isso matematicamente: 1. \(\frac{b + c + d}{3} + a = 17\) 2. \(\frac{a + c + d}{3} + b = 21\) 3. \(\frac{a + b + d}{3} + c = 23\) 4. \(\frac{a + b + c}{3} + d = 29\) Multiplicando cada equação por 3 para eliminar a fração, temos: 1. \(b + c + d + 3a = 51\) (1) 2. \(a + c + d + 3b = 63\) (2) 3. \(a + b + d + 3c = 69\) (3) 4. \(a + b + c + 3d = 87\) (4) Agora, vamos somar todas as equações: \[ (b + c + d + 3a) + (a + c + d + 3b) + (a + b + d + 3c) + (a + b + c + 3d) = 51 + 63 + 69 + 87 \] Isso simplifica para: \[ 6(a + b + c + d) = 270 \] Portanto: \[ a + b + c + d = 45 \] Agora, podemos usar essa soma para encontrar cada número. Vamos substituir \(d\) da equação (1): \[ d = 51 - b - c - 3a \] Substituindo \(d\) na soma total: \[ a + b + c + (51 - b - c - 3a) = 45 \] Simplificando: \[ -2a + 51 = 45 \implies 2a = 6 \implies a = 3 \] Agora, substituímos \(a\) nas outras equações para encontrar \(b\), \(c\) e \(d\). Substituindo \(a = 3\) na equação (1): \[ b + c + d + 9 = 51 \implies b + c + d = 42 \] Agora, substituindo \(a = 3\) na equação (2): \[ 3 + c + d + 3b = 63 \implies c + d + 3b = 60 \] Substituindo \(d = 42 - b - c\): \[ c + (42 - b - c) + 3b = 60 \implies 42 + 2b = 60 \implies 2b = 18 \implies b = 9 \] Agora, substituindo \(b = 9\) na soma \(b + c + d = 42\): \[ 9 + c + d = 42 \implies c + d = 33 \] Substituindo \(b = 9\) na equação (3): \[ 3 + 9 + d + 3c = 69 \implies d + 3c = 57 \] Agora temos um sistema de duas equações: 1. \(c + d = 33\) 2. \(d + 3c = 57\) Substituindo \(d = 33 - c\) na segunda equação: \[ (33 - c) + 3c = 57 \implies 33 + 2c = 57 \implies 2c = 24 \implies c = 12 \] Agora, substituindo \(c = 12\) na equação \(c + d = 33\): \[ 12 + d = 33 \implies d = 21 \] Portanto, temos os números: - \(a = 3\) - \(b = 9\) - \(c = 12\) - \(d = 21\) O maior dos quatro números é 21.