prove que 7(elevado a 4n) - 2(elevado a 4n) é divisivel por 53.

Question

Tenho as seguintes propriedades: (a + b) divide a(elevado a 2n) - b(elevado a 2n); (a - b) divide a(elevado a n) - b(elevado a n); (a + b) divide a(elevado a 2n+1) + b( elevado a 2n+1)

Estudante PD · Answer

Vc informou que "Tenho as seguintes propriedades: (a + b) divide a(elevado a 2n) - b(elevado a 2n)".
 
Logo...
 
53 que é (7^2+2^2) divide (7^2)^(2n)-(2^2)^(2n)= 7^(4n)-2^(4n).
 
Lembrando que, por exemplo, (7^2)^(2n) é igual a (7^2)*(7^2)*....*(7^2)=7^(2+2+...+2) [2n-vezes]
que é o mesmo que 7^[2*(2n)]=7^(4n).

Daniel Ferreira · Answer

Coloquemos o número 53 como uma soma entre duas potências, segue,
 
53 = 49 + 4
53 = 7&sup2; + 2&sup2;
 
 Das propriedades que foram dadas, a primeira é a que se enquadra no enunciado.
 
 Provemos que 53 divide (7^{4n} - 2^{4n}), isto é, que 53|(7^{4n} - 2^{4n}). Veja:
 
 Comparando o denominador da propriedade com 53 (soma de potências) concluímos que:
 
a + b = 7&sup2; + 2&sup2;
a = 7&sup2; =====guarde=====> a&sup2; = (7&sup2;)&sup2; ======> a&sup2; = 7^4
b = 2&sup2; ======isso======> b&sup2; = (2&sup2;)&sup2; ======> b&sup2; = 2^4
 
 Ora, por conseguinte,
 
(a + b)|(a^{2n} - b^{2n}) =>
(7&sup2; + 2&sup2;)|[(a&sup2;)^n - (b&sup2;)^n] =>
(49 + 4)|[(7^4)^n - (2^4)^n] =>
53|(7^{4n} - 2^{4n})
 
 Como queríamos demonstrar.

Jonatha Mathaus Santos da Silva · Answer

Recomendo a fazer por indução.

Álgebra

prove que 7(elevado a 4n) - 2(elevado a 4n) é divisivel por 53.

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