Para determinar os números críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento da função \( p(x) = x^4 - 4x^3 \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a derivada da função: \[ p'(x) = 4x^3 - 12x^2 \] 2. Encontrar os números críticos: Para encontrar os números críticos, igualamos a derivada a zero: \[ 4x^3 - 12x^2 = 0 \] Fatorando, temos: \[ 4x^2(x - 3) = 0 \] Portanto, os números críticos são: \[ x = 0 \quad \text{e} \quad x = 3 \] 3. Analisar os sinais da derivada: Vamos testar os intervalos determinados pelos números críticos: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 3) \) e \( (3, +\infty) \). - Para \( x < 0 \) (por exemplo, \( x = -1 \)): \[ p'(-1) = 4(-1)^3 - 12(-1)^2 = -4 - 12 = -16 \quad (\text{decrescente}) \] - Para \( 0 < x < 3 \) (por exemplo, \( x = 1 \)): \[ p'(1) = 4(1)^3 - 12(1)^2 = 4 - 12 = -8 \quad (\text{decrescente}) \] - Para \( x > 3 \) (por exemplo, \( x = 4 \)): \[ p'(4) = 4(4)^3 - 12(4)^2 = 256 - 192 = 64 \quad (\text{crescente}) \] 4. Conclusão: - A função é decrescente em \( (-\infty, 0) \) e \( (0, 3) \). - A função é crescente em \( (3, +\infty) \). Portanto, os números críticos são \( x = 0 \) e \( x = 3 \), e os intervalos de crescimento e decrescimento são: - Decrescente: \( (-\infty, 0) \) e \( (0, 3) \) - Crescente: \( (3, +\infty) \)