Lista de Exercícios 3

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DMAT/CCE/UFES - MAT06013 - Matemática I - T01- 2024/1
Lista de Exercícios [LE-t3]
1. [Lembrete: Regras de derivação]
Sejam k uma constante, f e g funções diferenciáveis de uma mesma variável (que podemos indicar por x). O símbolo
[f ]′ nos fornece a função derivada da função f inserida entre os colchetes [ ], de modo que [f(x)]′ = f ′(x) em cada
x.
[1] [k]′ = 0 −→ [100]′ = 0
[2] [k · f ]′ = k · f ′ −→ [3x2]′ = 3 · [x2]′
[3] [xn]′ = n · xn−1 −→ [x]′ = 1, [x2]′ = 2x , [x3]′ = 3x2
[4] [f + g]′ = f ′ + g′ −→ [x3 − x2]′ = [x3]′ − [x2]′
[5] [f · g]′ = f · g′ + f ′ · g −→ [x · (1 + x2)]′ = x · [1 + x2]′ + [x]′ · (1 + x2) = x · 2x+ 1 · (1 + x2) = 3x2 + 1
[6]
[
f
g
]′
=
g · f ′ − f · g′
g2
−→
[
1
x2 + 1
]′
=
(x2 + 1) · [1]′ − 1 · [x2 + 1]′
(x2 + 1)2
=
(x2 + 1) · 0− 1 · (2x)
(x2 + 1)2
= − 2x
(x2 + 1)2
[7] [fn]′ = n · fn−1 · f ′ −→ [(x2 + 1)10]′ = 10 · (x2 + 1)10−1 · [x2 + 1]′ = 10 · (x2 + 1)9 · 2x = 20x(x2 + 1)9
2. Utilize as regras de derivação e determine a função derivada f ′ para cada função real f de�nida a seguir:
[1] f(x) = x4 − 4x3 [2] f(x) = x4 − 2x2 + 3 [3] f(x) = x3 − 12x+ 1
[4] f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x [5] f(x) = 1
2x
4 − 4x2 + 3 [6] f(x) = x · (x− 4)3
[7] f(x) = 8x2 − x4 [8] f(x) = 3
2x
4 − 2x3 − 6x2 + 8 [9] f(x) = x3 − 3x2 + 1
[10] f(x) = 1
5x
5 − 8
3x
3 + 16x [11] f(x) =
√
x2 + x− 2 [12] f(x) =
3
√
x3 + 1
[13] f(x) =
1
x2 + 1
[14] f(x) =
x
x2 + 1
[15] f(x) = x+
√
1− x
[16] f(x) = x
√
8− x [17] f(x) = 2x2/3 − 2x5/3 [18] f(x) =
2x2
x2 − 1
[19] f(x) =
x2
√
x+ 1
[20] f(x) =
x2
x2 + 9
[21] f(x) =
3
√
x2 − 1
1
Respostas:
[1] f ′(x) = 4x3 − 12x2 [2] f ′(x) = 4x3 − 4x [3] f ′(x) = 3x2 − 12
[4] f ′(x) = 6x2 − 6x− 12 [5] f ′(x) = 2x3 − 8x [6] f ′(x) = 4(x− 1) · (x− 4)2
[7] f ′(x) = 16x− 4x3 [8] f ′(x) = 6x3 − 6x2 − 12x [9] f ′(x) = 3x2 − 6x
[10] f ′(x) = 4x3 − 12x2 [11] f ′(x) =
2x+ 1
2
√
x2 + x− 2
[12] f ′(x) =
x2
(x3 + 1)2/3
[13] f ′(x) =
2x
(x2 + 1)2
[14] f ′(x) =
1− x2
(x2 + 1)2
[15] f ′(x) = 1− 1
2
√
1− x
[16] f ′(x) =
16− 3x
2
√
8− x
[17] f ′(x) =
2
3
x−1/3(2− 5x) [18] f ′(x) = − 4x
(x2 − 1)2
[19] f ′(x) =
x(3x− 4)
2(x+ 1)3/2
[20] f ′(x) =
18x
(x2 + 9)2
[21] f ′(x) =
2
3
x(x2 − 1)−2/3
3. Determine a equação da reta tangente ao grá�co da função f dada no ponto P indicado:
[1] f(x) = 2x− 1 → P (3, 5) [2] f(x) = 4x− 3x2 → P (2,−4)
[3] f(x) =
√
x → P (1, 1) [4] f(x) = x3 − 3x+ 1 → P (2, 3)
[5] f(x) =
2x+ 1
x+ 2
→ P (1, 1) [6] f(x) =
1√
x
→ P (1, 1)
[Respostas:] [1] y = 2x− 1 [2] y = −8x+ 12 [3] y = −1
2
x+
1
2
[4] y = 9x− 15 [5] y =
1
3
x+
2
3
[6] y = −1
2
x+
3
2
4. Encontre uma equação para a reta tangente ao grá�co de y = g(x) em x = 5 sabendo que g(5) = −3 e g′(5) = 4.
[Resposta:] a reta tangente ao grá�co de g no ponto P (5,−3) tem equação: y = 4x− 23.
5. Se uma equação de uma reta tangente à curva y = f(x) no ponto de abscissa a = 2 é y = 4x − 5, encontre f(2) e
f ′(2). Justi�que sua resposta.
[Resposta:] f(2) = 3 e f ′(2) = 4.
6. Esboce o grá�co da função
f(x) =
{
x2 − x+ 1 , se x ≥ 0
3x , se x 0 a reta tangente a f no ponto (a, f(a)) é y = (2a−1)x−a2+1,
e se a 0 para todo x ∈ I, então f é crescente no intervalo I e dizemos que I é um intervalo
de crescimento de f ;
2
[2] se tivermos que f ′(x) 0 para todo x ∈ J , então o grá�co de f tem concavidade para cima no intervalo J ;
[2] se tivermos que f ′′(x)o número crítico − 1
2 é um máximo local de f , enquanto os
números críticos −2 e 1 são mínimos locais.
16. Determine a equação da reta tangente ao grá�co de f(x) =
1
x2 + 1
em um dos seus pontos de in�exão.
[Respostas:] Os pontos de in�exão de f são: (±
√
3
3 , 3
4 ). A reta tangente no ponto (
√
3
3 , 3
4 ) é:
y − 3
4 = − 3
√
3
8 (x−
√
3
3 ) ou seja y = − 3
√
3
8 x+ 9
8
17. Determine as equações das retas tangentes ao grá�co da função racional
r(x) =
2x+ 1
3x+ 4
que sejam perpendiculares à reta 10x+ 2y − 3 = 0.
[Respostas:] As retas tangentes procuradas são: y = 1
5x+ 4
15 e y = 1
5x+ 8
5 .
18. Considere a função racional
f(x) = x+
1
x
.
e determine:
[a] uma equação para a reta tangente ao grá�co de f no ponto P (1, 2);
[b] os números críticos de f e os seus extremos locais.
[Respostas:] [a] y = 2 [b] Números críticos: ±1; Extremos locais: x = −1 é máximo local, enquanto x = 1 é
mínimo local.
19. Para cada função real f de�nida a seguir, determine:
[1] os seus números críticos;
[2] os intervalos de crescimento/decrescimento e os extremos locais;
[3] os intervalos de concavidade e os pontos de in�exão.
[4] Por �m, reúna as informações obtidas no itens acima e faça um esboço do grá�co de f .
(Note que as derivadas das funções f abaixo já foram calculadas no Exercício 2)
a) f(x) = x4 − 4x3 b) f(x) = x4 − 2x2 + 3 c) f(x) = x3 − 12x+ 1
d) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x e) f(x) = 1
2x
4 − 4x2 + 3 f) f(x) = x(x− 4)3
g) f(x) = 8x2 − x4 h) f(x) = 3
2x
4 − 2x3 − 6x2 + 8 i) f(x) = x3 − 3x2 + 1
j) f(x) = 1
5x
5 − 8
3x
3 + 16x k) f(x) =
√
x2 + x− 2 l) f(x) =
3
√
x3 + 1
m) f(x) =
1
x2 + 1
n) f(x) =
x
x2 + 1
o) f(x) = x+
√
1− x
p) f(x) = x
√
6− x q) f(x) = 2x2/3 − 2x5/3 r) f(x) =
2x2
x2 − 1
s) f(x) =
x2
√
x+ 1
t) f(x) =
x2
x2 + 9
u) f(x) =
3
√
x2 − 1
v) f(x) =
1
x2 − x+ 1
v) f(x) = x− 3
√
x w) f(x) = x3 − 6x2 + 15x
4
Respostas para alguns itens:
Item (b): Números críticos: 0, ±1; Intervalos C/D: crescente em (−1, 0) e (1,∞); decrescente em (−∞,−1) e
(0, 1); Extremos locais: valor máximo local em f(0) = 3 e valor mínimo local em f(±1) = 2; Intervalos de
concavidade: Concavidade para cima em (−∞,− 1√
3
) e ( 1√
3
,∞) e Concavidade para baixo em (− 1√
3
, 1√
3
); Pontos
de in�exão: (± 1√
3
, 22
9 ).
Item (d): Números críticos: −1 e 2; Intervalos C/D: crescente em (−∞,−1) e (2,∞); decrescente em (−1, 2);
Extremos locais: valor máximo local em f(−1) = 7 e valor mínimo local em f(2) = −20; Intervalos de concavi-
dade: Concavidade para cima em ( 12 ,∞) e Concavidade para baixo em (−∞, 1
2 ); Pontos de in�exão: ( 12 ,−
13
2 ).
Item (e): Números críticos: 0 e ±2; Intervalos C/D: crescente em (−2, 0) e (2,∞); decrescente em (−∞,−2) e
(0, 2); Extremos locais: valor máximo local em f(0) = 3 e valor mínimo local em f(±2) = −5; Intervalos de
concavidade: Concavidade para cima em (−∞,− 2√
3
) e ( 2√
3
,∞) e Concavidade para baixo em (− 2√
3
, 2√
3
); Pontos
de in�exão: (± 2√
3
,− 13
9 ).
Item (f): Números críticos: 1 e 4; Intervalos C/D: crescente em (1,∞); decrescente em (−∞, 1); Extremos
locais: valor mínimo local em f(1) = −27; Intervalos de concavidade: Concavidade para cima em (−∞, 2) e
(4,∞) e Concavidade para baixo em (2, 4); Pontos de in�exão: (2,−16) e (4, 0).
Item (j): Números críticos: ±2; Intervalos C/D: crescente em (−∞,∞) ; Extremos locais: não possui;
Intervalos de concavidade: Concavidade para cima em (−2, 0) e (2,∞) e Concavidade para baixo em (−∞,−2) e
(0, 2); Pontos de in�exão: (−2,− 256
15 ), (0, 0) e (2, 256
15 ).
Item (k): Domínio: (−∞,−2] ∪ [1,∞); Números críticos: −2 e 1; Intervalos C/D: crescente em (1,∞);
decrescente em (−∞,−2); Extremos locais: não possui; Intervalos de concavidade: Concavidade para baixo
em (−∞,−2) e (1,∞); Pontos de in�exão: não possui.
Item (l): Domínio: R; Números críticos: −1 e 0; Intervalos C/D: crescente em R; Extremos locais: não
possui; Intervalos de concavidade: Concavidade para baixo em (−1, 0) e Concavidade para cima em (−∞,−1)
e (0,∞); Pontos de in�exão: (−1, f(−1)) e (0, f(0)).
Item (p): Domínio: (−∞, 6]; Números críticos: 4 e 6; Intervalos C/D: crescente em (−∞, 4); decrescente
em (4, 6); Extremos locais: valor máximo local em f(4) = 4
√
2; Intervalos de concavidade: Concavidade
para baixo em (−∞, 6); Pontos de in�exão: não possui.
Item (r): Domínio: {x |x ̸= ±1}; Números críticos: 0; Intervalos C/D: crescente em (−∞,−1) e (−1, 0);
decrescente em (0, 1) e (1,∞); Extremos locais: valor máximo local em f(0) = 0 Intervalos de concavidade:
Concavidade para cima em (−∞,−1) e (1,∞) e Concavidade para baixo em (−1, 1); Pontos de in�exão: não
possui.
Item (s): Domínio: (−1,∞); Números críticos: 0; Intervalos C/D: crescente em (0,∞); decrescente em
(−1, 0); Extremos locais: valor mínimo local em f(0) = 0; Intervalos de concavidade: Concavidade para
cima em (−1,∞); Pontos de in�exão: não possui.
Item (t): Números críticos: 0; Intervalos C/D: crescente em (0,∞); decrescente em (−∞, 0); Extremos
locais: valor mínimo local em f(0) = 0; Intervalos de concavidade: Concavidade para cima em (−
√
3,
√
3) e
Concavidade para baixo em (−∞,−
√
3) e (
√
3,∞); Pontos de in�exão: (±
√
3, 1
4 ).
Item (u): Domínio: R; Números críticos: 0, ±1; Intervalos C/D: crescente em (0,∞); decrescente em
(−∞, 0); Extremos locais: valor mínimo local em f(0) = −1; Intervalos de concavidade: Concavidade para
cima em (−1, 1) e Concavidade para baixo em (−∞,−1) e (1,∞); Pontos de in�exão: (±1, 0).
20. [1] Suponha que uma função lucro L(x) seja diferenciável e que seu valor máximo local seja atingido no número
a. Mostre que, em a, o valor da receita marginal é igual ao valor do custo marginal.
Se R(x) é a função receita, então a função receita marginal é a derivada R′(x). Além disso, o lucro é a diferença
entre a receita e o custo: L(x) = R(x)− C(x).
[2] Se
C(x) = 16000 + 500x− 1, 6x2 + 0, 004x3 (x ≥ 0)
for a função custo e p(x) = 1700− 7x é a função demanda, determine a função lucro e encontre o nível de produção
que maximiza localmente o lucro.
[Respostas:][2] A função receita é R(x) = x · p(x) = −7x2 + 1700x , (x ≥ 0) e a função lucro é
L(x) = R(x)− C(x) = −0, 004x3 − 5, 4x2 + 1200x− 16000 , (x ≥ 0)
O nível de produção que maximiza localmente o lucro é x = 1000.
5
21. Se C = C(x) uma função diferenciável que representa o custo de produção de x unidades de uma mercadoria, então
o custo médio é
C(x) =
C(x)
x
(x > 0)
e o custo marginal é a derivada da função custo, ou seja C ′(x) é a função custo marginal.
[1] mostre que, se o custo médio tem um mínimo local em um número a, então, em a, o valor do custo médio é
igual ao valor do custo marginal;
[Dica:] Mostre que C
′
(x) = 1
x · {C ′(x)− C(x)}, para x > 0.
[2] se
C(x) = 16000 + 200x+ 4x3/2 (x ≥ 0)
é o custo em $, determine:
[a] o custo, o custo médio e o custo marginal no nível de produção de 1000 unidades;
[b] o nível de produção que minimizará o custo médio;
[c] o custo médio mínimo (local).
[Respostas:] [a] $342.491, 11 $342, 49 $389, 75 [b] x = 400 [c] $320
22. Para fabricar um certo produto uma empresa tem um custo semanal �xo de $20000 e um custo variável para fabricar
x produtos de
V (x) = 10−6x3 − 10−2x2 + 50x (medido em $)
A empresa tem uma receita semanal de
R(x) = −0, 02x2 + 150x (medido em $)
com a venda de x produtos por semana, para x > 0. Determine a função lucro semanal e encontre o nível de
produção que fará com que o fabricante tenha lucro máximo (local).
[Respostas:] A função lucro semanal é
L(x) = R(x)− C(x) = −10−6x3 − 10−2x2 + 100x− 20000, (x ≥ 0)
O nível de produção em que o lucro é máximo é x = 104
3 .
23. A demanda mensal x de um relógio está relacionado ao preço unitário p pela equação
p =
50
0, 01x2 + 1
para x > 0 sendo p medido em $ e x medido em unidades de milhar. Determine a função receita mensal e seus
números críticos. Quantos relógios devem ser vendidos para que a receita mensal tenha um valor máximo local?
[Resposta:] 10000 unidades. Veja que a receita mensal é R(x) = 5000x
x2+100 e que R′(x) = 5000 · 100−x2(x2+100)2 .
24. Deseja-se construir uma caixa retangular sem tampa cujo volume seja de 10 m3. Exige-se que o comprimento da
base seja o dobro da largura. Se o material usado na base custa $10 o metro quadrado e o das laterais custa $6 o
metro quadrado, determine o custo total em função da largura da caixa. Qual é a largura da caixa que fornece o
menor custo total?
Resposta: A função custo total é
C = C(x) = 20x2 +
180
x
(x > 0)
e a largura procurada é x = 3
√
9
2 (em metros).
25. Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com 15 polegadas de comprimento
e 8 polegadas de largura. Para isso, devem-se cortar quadrados de lados x (medido em polegadas) de cada canto e
depois dobrar. Determine as dimensões da caixa de volume máximo (local).
Resposta: A caixa terá comprimento 15−2x, largura 8−2x e altura x e seu volume é V (x) = x · (15−2x) · (8−2x).
A caixa de volume máximo (local) terá comprimento 35
3 , largura
14
3 e altura 5
3 (em polegadas).
6