Para determinar e classificar os extremos da função \( z = x^3 + y^3 - 3xy \), precisamos encontrar os pontos críticos e analisar a natureza desses pontos. 1. Encontrar os pontos críticos: Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a \( x \) e \( y \) e igualamos a zero. \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 3y = 0 \quad (1) \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2 - 3x = 0 \quad (2) \] Da equação (1), temos \( x^2 = y \) e da equação (2), temos \( y^2 = x \). Resolvendo essas equações, encontramos os pontos críticos \( (0, 0) \) e \( (1, 1) \). 2. Classificar os pontos críticos: Para classificar os extremos, usamos a matriz Hessiana: \[ H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{bmatrix} \] Calculando as segundas derivadas, obtemos: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6x, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 6y, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -3 \] Avaliando a Hessiana nos pontos críticos: - Para \( (0, 0) \): \[ H(0, 0) = \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \] O determinante é \( 0 \), indicando que é um ponto de sela. - Para \( (1, 1) \): \[ H(1, 1) = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 6 \end{bmatrix} \] O determinante é \( 6 \cdot 6 - (-3)(-3) = 36 - 9 = 27 > 0 \) e \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0 \), indicando que é um mínimo. Com isso, temos: - Sela em \( P(0, 0, 0) \) - Mínimo em \( P(1, 1, -1) \) Portanto, a alternativa correta é: C Sela em P (0, 0, 0) e mínimo em P (1, 1, -1).