Para determinar a dependência linear das funções dadas usando o teorema de Wronskiano, precisamos calcular o determinante da matriz formada pelas funções e suas derivadas. As funções são: - \( f_1(x) = e^x \) - \( f_2(x) = x e^x \) - \( f_3(x) = x^2 e^x \) Vamos calcular o Wronskiano \( W(f_1, f_2, f_3) \): A matriz do Wronskiano é dada por: \[ W = \begin{bmatrix} f_1 & f_2 & f_3 \\ f_1' & f_2' & f_3' \\ f_1'' & f_2'' & f_3'' \end{bmatrix} \] Calculando as derivadas: - \( f_1' = e^x \) - \( f_2' = e^x + x e^x = (1 + x)e^x \) - \( f_3' = 2x e^x + x^2 e^x = (2x + x^2)e^x \) E as segundas derivadas: - \( f_1'' = e^x \) - \( f_2'' = (1 + x)e^x + e^x = (2 + x)e^x \) - \( f_3'' = (2 + 2x + x^2)e^x \) Agora, montamos a matriz: \[ W = \begin{bmatrix} e^x & x e^x & x^2 e^x \\ e^x & (1 + x)e^x & (2 + x)e^x \\ e^x & (2 + x)e^x & (2 + 2x + x^2)e^x \end{bmatrix} \] Fatorando \( e^x \) da matriz, obtemos: \[ W = e^{3x} \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & 1 + x & 2 + x \\ 1 & 2 + x & 2 + 2x + x^2 \end{bmatrix} \] Agora, precisamos calcular o determinante da matriz \( 3 \times 3 \) resultante. Se o determinante for diferente de zero, as funções são linearmente independentes; se for zero, são linearmente dependentes. Após calcular o determinante, podemos concluir que as funções \( f_1, f_2, f_3 \) são linearmente independentes. Analisando as alternativas: - A. A matriz é linearmente independente. (Correta) - B. A matriz é linearmente dependente. (Incorreta) - C. A matriz é linearmente dependente. (Incorreta) - D. A matriz é linearmente independente. (Correta) - E. A matriz é linearmente dependente. (Incorreta) Portanto, a resposta correta é a alternativa A.