Ao calcularmos a derivada da função f(x) = x³ + 2x (pela definição) para x = 1, encontramos como resultado: A) 0 B) -5 C) -1 D) 5 E) 1

Para calcular a derivada da função \( f(x) = x^3 + 2x \) pela definição, utilizamos o limite: \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \] Vamos calcular \( f'(1) \): 1. Primeiro, encontramos \( f(1) \): \[ f(1) = 1^3 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3 \] 2. Agora, calculamos \( f(1+h) \): \[ f(1+h) = (1+h)^3 + 2(1+h) = (1 + 3h + 3h^2 + h^3) + (2 + 2h) = 3 + 5h + 3h^2 + h^3 \] 3. Agora, substituímos na fórmula da derivada: \[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(3 + 5h + 3h^2 + h^3) - 3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{5h + 3h^2 + h^3}{h} \] 4. Simplificando: \[ f'(1) = \lim_{h \to 0} (5 + 3h + h^2) \] 5. Agora, ao calcular o limite quando \( h \) tende a 0: \[ f'(1) = 5 \] Portanto, a resposta correta é: D) 5.