Se log2 x e log3 y, então log288 é A 2x 5y. B 5x 2y. C 10xy. D 2 2x y . E 2 2x y .

Para resolver a questão, precisamos usar as propriedades dos logaritmos. Sabemos que: 1. \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \) 2. \( \log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right) \) 3. \( \log_a (b^c) = c \cdot \log_a b \) Dado que \( \log_2 x = a \) e \( \log_3 y = b \), podemos expressar \( x \) e \( y \) em termos de \( a \) e \( b \): - \( x = 2^a \) - \( y = 3^b \) Agora, precisamos calcular \( \log_{288} \). Primeiro, vamos fatorar 288: \( 288 = 2^5 \cdot 3^2 \) Assim, podemos usar a propriedade do logaritmo: \[ \log_{288} = \log_{288} (2^5 \cdot 3^2) = \log_{288} (2^5) + \log_{288} (3^2) \] Usando a mudança de base, temos: \[ \log_{288} (2^5) = 5 \cdot \log_{288} 2 \] \[ \log_{288} (3^2) = 2 \cdot \log_{288} 3 \] Agora, aplicando a mudança de base novamente: \[ \log_{288} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 288} = \frac{1}{\log_2 (2^5 \cdot 3^2)} = \frac{1}{5 \log_2 2 + 2 \log_2 3} = \frac{1}{5 + 2 \cdot \frac{\log_3 y}{\log_3 2}} \] E similarmente para \( \log_{288} 3 \). Por fim, ao simplificar, podemos ver que a expressão correta que representa \( \log_{288} \) em termos de \( x \) e \( y \) é: A alternativa correta é: A) 2x + 5y.