Para resolver essa questão, vamos seguir os passos necessários: 1. Encontrar o centro da circunferência (C): O centro é o ponto médio do segmento AB. Para isso, usamos a fórmula do ponto médio: \[ C = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] Onde \( A(-1, 10) \) e \( B(-7, 2) \): \[ C = \left( \frac{-1 + (-7)}{2}, \frac{10 + 2}{2} \right) = \left( \frac{-8}{2}, \frac{12}{2} \right) = (-4, 6) \] 2. Encontrar o raio da circunferência: O raio é a metade da distância entre A e B. Usamos a fórmula da distância: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] \[ d = \sqrt{((-7) - (-1))^2 + (2 - 10)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] Portanto, o raio \( r = \frac{10}{2} = 5 \). 3. Equação da circunferência: A equação da circunferência é dada por: \[ (x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 25 \] 4. Encontrar os pontos de interseção (M e N) com o eixo das ordenadas (x = 0): Substituímos \( x = 0 \) na equação da circunferência: \[ (0 + 4)^2 + (y - 6)^2 = 25 \] \[ 16 + (y - 6)^2 = 25 \] \[ (y - 6)^2 = 9 \] \[ y - 6 = 3 \quad \text{ou} \quad y - 6 = -3 \] Portanto, \( y = 9 \) ou \( y = 3 \). Assim, os pontos M e N são \( (0, 9) \) e \( (0, 3) \). 5. Calcular a área do triângulo MNC: Os vértices do triângulo são \( M(0, 9) \), \( N(0, 3) \) e \( C(-4, 6) \). Usamos a fórmula da área do triângulo com coordenadas: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Substituindo: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| 0(3 - 6) + 0(6 - 9) + (-4)(9 - 3) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 - 4 \cdot 6 \right| = \frac{1}{2} \left| -24 \right| = \frac{24}{2} = 12 \] Portanto, a área do triângulo MNC é igual a 12. A alternativa correta é: b) 12.