Para encontrar as coordenadas do polinômio \( p = x - 4 \) em relação à base \( A = \{ p_1 = 4 - 3x, p_2 = 3 - 2x \} \), precisamos expressar \( p \) como uma combinação linear dos vetores da base \( A \). Vamos escrever: \[ p = c_1 p_1 + c_2 p_2 \] Substituindo os polinômios: \[ x - 4 = c_1 (4 - 3x) + c_2 (3 - 2x) \] Expandindo a equação: \[ x - 4 = 4c_1 + 3c_2 - (3c_1 + 2c_2)x \] Agora, igualamos os coeficientes de \( x \) e os termos constantes: 1. Coeficiente de \( x \): \( -3c_1 - 2c_2 = 1 \) 2. Termo constante: \( 4c_1 + 3c_2 = -4 \) Agora, temos um sistema de duas equações: 1. \( -3c_1 - 2c_2 = 1 \) (equação 1) 2. \( 4c_1 + 3c_2 = -4 \) (equação 2) Resolvendo esse sistema, podemos encontrar os valores de \( c_1 \) e \( c_2 \). Multiplicando a equação 1 por 2 para facilitar a eliminação: \[ -6c_1 - 4c_2 = 2 \quad (equação 3) \] Agora, somamos a equação 2 e a equação 3: \[ (4c_1 + 3c_2) + (-6c_1 - 4c_2) = -4 + 2 \] Isso resulta em: \[ -2c_1 - c_2 = -2 \] Ou seja: \[ 2c_1 + c_2 = 2 \quad (equação 4) \] Agora, podemos resolver o sistema formado pelas equações 1 e 4: Substituindo \( c_2 = 2 - 2c_1 \) na equação 1: \[ -3c_1 - 2(2 - 2c_1) = 1 \] Resolvendo: \[ -3c_1 - 4 + 4c_1 = 1 \] \[ c_1 - 4 = 1 \] \[ c_1 = 5 \] Substituindo \( c_1 \) na equação 4: \[ 2(5) + c_2 = 2 \] \[ 10 + c_2 = 2 \] \[ c_2 = 2 - 10 = -8 \] Portanto, as coordenadas do polinômio \( p = x - 4 \) em relação à base \( A \) são: \[ (c_1, c_2) = (5, -8) \] Assim, a matriz das coordenadas do polinômio \( p \) em relação à base \( A \) é: \[ \begin{pmatrix} 5 \\ -8 \end{pmatrix} \]