Para resolver essa soma, vamos analisar a expressão dada. A sequência apresentada pode ser vista como uma série geométrica. A primeira parte da soma é \( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} \). A segunda parte é \( \left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot \frac{1}{4} \). A terceira parte é \( \left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot \frac{1}{4} \). E assim por diante. Podemos observar que a soma pode ser expressa como: \[ S = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} + \left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot \frac{1}{4} + \left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot \frac{1}{4} + \ldots \] Isso é uma série geométrica onde o primeiro termo \( a = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16} \) e a razão \( r = \frac{3}{4} \). A soma de uma série geométrica infinita é dada pela fórmula: \[ S = \frac{a}{1 - r} \] Substituindo os valores: \[ S = \frac{\frac{3}{16}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{16}}{\frac{1}{4}} = \frac{3}{16} \cdot 4 = \frac{3}{4} \] No entanto, precisamos considerar que a soma total é multiplicada por \( \frac{1}{4} \) no final, então: \[ S = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16} \] Agora, precisamos somar todos os termos da série. A soma total é: \[ S = \frac{3/16}{1 - 3/4} = \frac{3/16}{1/4} = \frac{3}{16} \cdot 4 = \frac{3}{4} \] Porém, isso não está correto, pois estamos buscando o limite da soma. Vamos reanalisar a série: A soma correta, considerando a série geométrica, é: \[ S = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3 \] Mas, como estamos somando \( \frac{1}{4} \) em cada termo, precisamos dividir por 4: \[ S = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16} \] Portanto, a soma total converge para \( \frac{3}{7} \). Assim, a resposta correta é: c) 3/7.