Vamos analisar cada afirmativa em relação ao subconjunto \( W = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \,|\, y = 3x\} \): 1. Condição de fechamento sob adição: Se \( u = (x_1, y_1) \) e \( v = (x_2, y_2) \) pertencem a \( W \), então \( y_1 = 3x_1 \) e \( y_2 = 3x_2 \). A soma \( u + v = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (x_1 + x_2, 3x_1 + 3x_2) = (x_1 + x_2, 3(x_1 + x_2)) \) também pertence a \( W \). Portanto, a condição de fechamento sob adição é satisfeita. 2. Condição de fechamento sob multiplicação por escalar: Para qualquer \( \alpha \in \mathbb{R} \) e \( u = (x, y) \in W \), temos \( y = 3x \). Assim, \( \alpha u = (\alpha x, \alpha y) = (\alpha x, 3(\alpha x)) \), que também pertence a \( W \). Portanto, a condição de fechamento sob multiplicação por escalar também é satisfeita. Agora, vamos analisar as afirmativas: I – W não é um subespaço vetorial de V, pois a soma dos vetores pertence a W, mas a multiplicação não. FALSO. Ambas as condições são satisfeitas. II – W é um subespaço vetorial de V, pois as duas condições são satisfeitas. VERDADEIRO. Esta afirmativa está correta. III – W é um subespaço vetorial de V, pois a soma dos vetores pertence a W, mas a multiplicação não. FALSO. A multiplicação também pertence a \( W \). IV - W é um subespaço vetorial de V, pois a soma dos vetores não pertence a W, mas a multiplicação sim. FALSO. A soma dos vetores pertence a \( W \). Portanto, a única afirmativa correta é a II. A alternativa correta é: B - Apenas II.