Alguém poderia me ajudar a resolver essa integral ? Encontrei um resultado e não tenho certeza se está correto, infelizmente não tenho o gabarito.

Boa noite!

Para resolver precisará desenvolver o binômio. Vai encontrar:

∫(x²+2xsen(x)+sen²(x)) dx

Pode separar agora em 3 integrais:

1)

∫x² dx=x³/3

2)

2∫xsen(x) dx

Pode resolver por partes:

u=x ==> du=dx

dv=sen(x)dx ==> v=-cos(x)

A solução sai de:

∫udv=uv-∫vdu

∫xsen(x) dx=x(-cos(x))-∫(-cos(x)) dx=-xcos(x)+∫cos(x) dx=-xcos(x)+sen(x)

Então:

2∫xsen(x) dx = 2(-xcos(x)+sen(x))

3)

∫sen²(x) dx

Aqui pode usar a substituição:

∫(1-cos(2x))/2 dx=(1/2)∫(1-cos(2x)) dx=(1/2)(x-sen(2x)/2)=x/2-sen(2x)/4

Voltando tudo para a equação original:

∫(x²+2xsen(x)+sen²(x)) dx=[x³/3+2(-xcos(x)+sen(x))+x/2-sen(2x)/4] de 0 a 2

8/3+2(-2cos(2)+sen(2))+1-sen(4)/4=11/3-4cos(2)+2sen(2)-sen(4)/4

Aproximadamente ==> 3,631

Rodrigo, obrigado pela ajuda. Foi assim que fiz mesmo, mas chegamos a resultados um pouco diferentes. Abaixo listo quais foram essas diferenças:

1. Na terceira integral, quando vc fez integrou o cosseno, acho que esqueceu do sinal negativo. 
2. Coloquei na calculadora a expressãoque vc achou e encontrei -0,279 ao invés de 3,631.