Determinar a equa¸c˜ao da reta tangente `as seguintes curvas nos pontos indicados. Esbo¸car o gr´afico em cada caso

(b) o x dado é x=1/3, então f(1/3)= 3

M=f'(x)= -1/x²; então f'(1/3)= -9

portanto, a eq. é: y-3= -9(x-1/3)   = y=-9x+6

(a) o x dado é x=-1, então f(x)=f(-1)= (-1)² -3(-1)+6=10

M=f'(x)=2x-3; então f'(-1)= 2(-1)-3=-5

portanto, a eq. da reta tangente é: y-10=-5(x-(-1)) = y=-5x+5 pois a equaçaõ da reta tg é: y-f(x)=M(x-Xo) Xo é o x dado

a)

Vamos encontrar a inclinação da reta achando a derivada de \(x^2-3x+6=y\)

\(y=x^2-3x+6\\ \frac{d}{dx}\left(x^2-3x+6\right)=2x-3\)

No ponto \((-1)\):

\(2x-3 = 2.1-3=-1\)

Vamos verificar o valor de y para o ponto dado ( \(x=-1\)):

\(y=x^2-3x+6\\ y=(-1)^2-3(-1)+6\\ y=1+3+6\\ y=10 \)

Assim, a equação da reta é :

\(y=y0+m(x-x0)\\ y=10-(x+1)\\ \boxed{y=11-x}\)

Seu gráfico é:

b)

Utilizando o mesmo raciocíonio do item anterior:

\(y=\frac{1}{x}\\ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\\\)

No ponto \(x=1/3\):

\(-\frac{1}{x^2}=-\frac{1}{(1/3)^2}=-9\)

Para \(x=1/3\) , \(y\) é:

\(y=\frac{1}{x}\\ y=\frac{1}{1/3}\\ y=3 \)

Assim:

\(y=y0+m(x-x0)\\ y=3-9(x+\frac{1}{3})\\ y=3-9x-3\\ \boxed{y=-9x}\)

Seu gráfico é: