Fluids

V=[u,v,w]=[u,0,0]    tal que   u(y)=C(h^2+y^2)

Por definição, função linha de corrente, para um escoamento bidimensional, incompressivel:
   u=∂Ψ/∂y   v=-∂Ψ/∂x     de modo que     ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 =  ∂2Ψ/∂y∂x - ∂2Ψ/∂x∂y.

A) Logo é só demosntrar que ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0  ,  como v=0,  temos ∂u/∂x=0:

    ∂[C(h^2+y^2)]/∂x = C *  ∂(y^2)/∂x = 0

B) Como u=∂Ψ/∂y, então  ∂Ψ = u ∂y, integrando Ψ = ∫u ∂y + R(x) derivando em relação a x,  ∂Ψ/∂x= ∂[∫u ∂y]/∂x + R'(x) = -v    logo  R'(x)= -v - ∂[∫u ∂y]/∂x

    Ψ = ∫u ∂y + R(x)  = ∫C(h^2+y^2) ∂y  + R(x) =  C(y*h^2 + y^3/3) + R(x)

    R'(x)= -v - ∂[∫u ∂y]/∂x  =  -(0) - ∂[ C(y*h^2 + y^3/3)]/∂x = 

    R(x)=∫0 dx= R

Logo   Ψ= C(y*h^2 + y^3/3) + R

Stream function:

\(\psi = \int_{(x_0, y_0)}^{(x_1, y_1)} (u dy-v dx)\)

Since \(v = 0\):

\(\psi = \int u dy \\ \psi = \int C(h^2 - y^2) dy \\ \boxed{\psi = C(h^2y - \frac{y^3}{3})}\)