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Observe a definição da operação de potenciação de números inteiros: 'Para x um número inteiro e n um número natural, definimos” x0 = 1 para n = 0, com x ≠ 0, x1 = x para n = 1 xn+1 = xn · x para n > 1 O que nos permite demonstrar a seguinte propriedade da potenciação (xn)m = xn·m. Considerando n fixo podemos realizar a indução sobre m.
Nosso objetivo é provar que a afirmação é válida para k + 1, sendo assim, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Para m = 0, (xn)0 = 1 e xn · 0 = x0 = 1. Logo, (xn)0 = xn · 0 = 1. ( ) A hipótese de indução: para k fixo, k ≥ 0, (xn)k = xn·k. ( ) Para k + 1, (xn)k+1 = xn· k+1, desenvolvendo o membro da esquerda e usando a hipótese de indução, temos (xn)k+1 = (xn)k · (xn)1 = xn·k · xn = xn·k+n = x2n·k+1. Logo a afirmação é verdadeira. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F.
B F - V - V.
C V - F - F.
D V - V - F.

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PROVA 1 DE ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS.

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Vamos analisar cada uma das sentenças para determinar se são verdadeiras (V) ou falsas (F): ( ) Para m = 0, (xn)0 = 1 e xn · 0 = x0 = 1. Logo, (xn)0 = xn · 0 = 1. Esta afirmação é falsa (F). A expressão "xn · 0" não faz sentido no contexto, pois qualquer número multiplicado por zero é zero, e não se relaciona com a potenciação. ( ) A hipótese de indução: para k fixo, k ≥ 0, (xn)k = xn·k. Esta afirmação é verdadeira (V). A hipótese de indução é uma suposição válida para a prova, onde se assume que a afirmação é verdadeira para um valor fixo de k. ( ) Para k + 1, (xn)k+1 = xn·k+1, desenvolvendo o membro da esquerda e usando a hipótese de indução, temos (xn)k+1 = (xn)k · (xn)1 = xn·k · xn = xn·k+n = x2n·k+1. Logo a afirmação é verdadeira. Esta afirmação é falsa (F). A conclusão apresentada não está correta, pois a expressão final não é a correta para a propriedade da potenciação. Portanto, a sequência correta é: F - V - F. A alternativa que apresenta essa sequência é a A) F - V - F.

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O sistema de numeração que teve maior importância, contribuindo para as operações aritméticas serem mais simples, é o sistema decimal ou sistema de numeração indo-arábico. Ele foi desenvolvido pelos hindus e popularizado pelos árabes na Europa Ocidental e tomou conta de todo o mundo. Basicamente dez símbolos representam de forma posicional valores diferentes. Hoje temos a possibilidade de trabalhar com estes mesmos símbolos e criar outros tipos de sistemas.
Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) O número 42 na base 5, representa na base 10 o número 24. ( ) O número 61 na base 10, representa na base 4 o número 331. ( ) O número 212 na base 3, representa na base 10 o número 23. ( ) O número 27 na base 10, representa na base 7 o número 38. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - V - F.
B F - V - V - F.
C V - F - F - V.
D F - F - V - V.

Se S é um subconjunto não vazio dos inteiros e limitado inferiormente, então S possui um menor elemento. E a este elemento damos o nome de mínimo de S. Este axioma é definido como "Princípio da boa ordenação". Com base nas informações, analise as sentenças a seguir:
Assinale a alternativa CORRETA:
I- O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente e possui o 1 como menor elemento.
II- O conjunto S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} é limitado inferiormente e o mínimo de S é 2.
III- O conjunto M = {..., -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...} é limitado inferiormente e o mínimo de M é - 1.
A Somente a sentença II está correta.
B As sentenças I e III estão corretas.
C Somente a sentença I está correta.
D As sentenças I e II estão corretas.

As propriedades iniciais da divisibilidade de números inteiros são ferramentas para resolver diversos tipos de problemas. Considerando alguma propriedades, analise as sentenças a seguir:
Assinale a alternativa CORRETA:
I- Se a é divisor de b e b é divisor de c então a é divisor de c.
II- Se a é divisor de b e b é divisor de a então a = b ou a = - b.
III- Se a é divisor de b e c é divisor de b, então a é divisor de c.
A As sentenças II e III estão corretas.
B As sentenças I e II estão corretas.
C Somente a sentença I está correta.
D Somente a sentença II está correta.

A tricotomia nos fornece uma relação muito forte no conjunto dos números inteiros. Diante deste conceito, surgem algumas propriedades para completar a relação de ordem nos números inteiros. Sobre as propriedades e as operações de ordem, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Transitiva. II- Antissimétrica. III- Lei do Cancelamento. ( ) 1 + 2 < 3 + 2 então 1 < 3 ( ) -1 < 3 e 3 < 5 então -1 < 5 ( ) Se a ≤ b e b ≤ a, então a = b Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A III - I - II.
B II - I - III.
C I - II - III.
D III - II - I.

Saber realizar uma demonstração é, para um professor de matemática, algo extremamente fundamental. Além de conhecer de onde surgem as coisas, desenvolve o raciocínio e a possibilidade em suas aulas, explanando isso com seus alunos. Você estudou alguns axiomas fundamentais da aritmética, em que alguns deles são: • A1 – Soma e multiplicação bem definidas • A2 – Comutatividades • A3 – Associatividade • A4 – Elemento Neutro • A5 – Simétrico • A6 – Distributiva • D1 – Diferença de dois números.
Usando estas nomenclaturas, realizaremos uma demonstração a seguir, em que provaremos que se - a + b = 0, então b = a. Partindo de - a + b = 0, I. então por A1 podemos somar + a em ambos os membros, obtemos (– a + b) + a = 0 + a II. então por A3 na esquerda e A2 na direita, – a + (b + a) = a + 0 III. então por A2 na esquerda e na direita A4, – a + (a + b) = a IV. então por A2 na esquerda, (– a + a) + b = a V. então por A5 na esquerda, 0 + b = a VI. então por A2 na esquerda, b + 0 = a VII. então por A4 na esquerda, b = a, como queríamos demonstrar. Analisando cada item do desenvolvimento da demonstração sobre o axioma utilizado, pois o processo de demonstração está correto, podemos afirmar que:
A Os itens I, II, III, V, VI e VII estão corretos.
B Os itens I, II, V, VI e VII estão corretos.
C Os itens I, II, IV, V, VI e VII estão corretos.
D Os itens I, II, III, IV, V e VII estão corretos.

É comum na matemática a utilização de símbolos para expressar operações, nomear algum objeto ou até mesmo para denotar uma fórmula. Um destes símbolos é o somatório, que de forma reduzida, generaliza por meio de um argumento o comportamento de uma sequência.
Sobre o somatório a seguir leia cada uma das afirmacoes a seguir e marque (V) ou (F), conforme seja verdadeiro ou falso: ( ) O somatório representa a soma de 5 números. ( ) Todos os números que este somatório representa, não são inteiros. ( ) O número 3/5 faz parte deste somatório. ( ) O maior valor desta soma é o último. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - F.
B V - F - V - V.
C F - F - V - V.
D V - F - V - F.

O Princípio da Indução Matemática é um método dedutivo de demonstração, e tem como característica sua aplicação também nos números naturais. Contudo precisamos ter cuidado entre o provavelmente verdadeiro e absolutamente verdadeiro, pois nem sempre uma afirmação que funciona para uma certa quantidade de casos particulares será válida no geral.
Considerando os passos utilizados na indução matemática, analise as sentenças a seguir: I- Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural envolvido. II- Supomos a igualdade verdadeira para um certo k e verificamos se ela continua verdadeira para k + 1, número consecutivo. III- Concluímos que a igualdade é verdadeira para números primos. Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças I e II estão corretas.
B Somente a sentença III está correta.
C Somente a sentença II está correta.
D As sentenças I e III estão corretas.

Na elaboração da prova por indução, a primeira etapa da demonstração é a verificação para o primeiro número envolvido, no caso n = 1. Logo a seguir, supomos que a P(k) é verdadeira para n = k e, por último, provamos que é válida para k + 1. Sobre a primeira etapa para demonstrar a propriedade P: 13 | (92n- 42n), ∀n ∈ Z, n > 0, analise as opções a seguir:
I. P(k + 1): 13 | (92k+1- 42k+1) = (81 - 16) = 65 II. P(k + 1): 13 | (92k+1- 42k+1) III. P(1): 13 | (92n+1- 42n+1) IV. P(1): 13 | (92·1- 42·1) = (81 - 16) = 65 Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção II está correta.
B Somente a opção I está correta.
C Somente a opção IV está correta.
D Somente a opção III está correta.

A potência do número inteiro é definida como um produto de n fatores iguais. O número recebe o nome de base e n é o expoente. Considerando a potenciação de números inteiros e suas propriedades, dado o problema 3n+2 · 2n+3 = 2592, em que devemos determinar o valor de n, a resolução da questão, pode ser feita seguindo:
I - A igualdade é válida 3n · 32 · 2n · 23 = 2592 II – Usando a comutatividade da multiplicação e propriedade de potência encontramos (3 · 2)n · 23 · 32 = 2592 III - Pela lei do corte, obtemos 6n = 72 Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças I e III estão corretas.
B As sentenças I e II estão corretas.
C As sentenças II e III estão corretas.
D Somente a sentença I está correta.