Para determinar a posição relativa entre as duas circunferências dadas, precisamos primeiro reescrever as equações na forma padrão de uma circunferência, que é \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), onde \((h, k)\) é o centro e \(r\) é o raio. 1. Circunferência b: A equação é \(x^2 - 6x + y^2 - 27 = 0\). Reorganizando, temos: \[ (x^2 - 6x + 9) + y^2 = 36 \implies (x - 3)^2 + y^2 = 36 \] Portanto, o centro é \((3, 0)\) e o raio é \(r_b = 6\). 2. Circunferência c: A equação é \(x^2 + 6x + y^2 - 6y + 9 = 0\). Reorganizando, temos: \[ (x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 6y + 9) = 9 \implies (x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 9 \] Portanto, o centro é \((-3, 3)\) e o raio é \(r_c = 3\). Agora, vamos calcular a distância entre os centros das circunferências \(b\) e \(c\): \[ d = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(3 + 3)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] Agora, vamos comparar essa distância \(d\) com a soma e a diferença dos raios: - Soma dos raios: \(r_b + r_c = 6 + 3 = 9\) - Diferença dos raios: \(|r_b - r_c| = |6 - 3| = 3\) Agora, analisamos a posição relativa: - Se \(d < |r_b - r_c|\), as circunferências são internas. - Se \(d = |r_b - r_c|\), as circunferências são tangentes internamente. - Se \(|r_b - r_c| < d < r_b + r_c\), as circunferências são secantes. - Se \(d = r_b + r_c\), as circunferências são tangentes externamente. - Se \(d > r_b + r_c\), as circunferências são externas. Neste caso, temos: - \(d = 3\sqrt{5} \approx 6.7\) - \(r_b + r_c = 9\) - \(d < r_b + r_c\) e \(d > |r_b - r_c|\) Portanto, as circunferências são secantes. A alternativa correta é: A Secante.