[Geometria Analitica] Como calcular essa fórmula de vetores?

Seja k=|u-v+w|²=(u-v+w)(u-v+w)=uu-uv+uw-vu+vv-vw+wu-wv+ww

usando que uu=|u|² e (|u|=4, |v|=3, |w|=1), segue que:

k=4²+3²+1²+2(-uv-vw+uw) => k=26+2(uv+uw-vw) [1].

Como u e v são ortogonais => uv=0 [2], e ainda:

cosX=uw/(|u||w|), onde X é o ângulo entre u e w, então uw=4.1.cos(pi/3)=2 [3]

cosY=vw/(|v||w|), onde Y é o ângulo entre v e w, então vw=3.1.cos(2pi/3)=-3/2  [4]

Substituindo [2], [3] e [4] em [1], obtemos:

k=26+2(-0-2-3/2)=19.

Para encontrarmos o valor da expressão dada, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & \cos \frac{\pi }{3}=\frac{u\cdot w}{4\cdot w} \\ & 2|w|=u\cdot w \\ & \\ & \cos \frac{2\pi }{3}=\frac{v\cdot w}{3\cdot |w|} \\ & -1,5|w|=vw \\ & |w|=26 \\ & \\ & |u-v+w{{|}^{2}}={{\left( \sqrt{16-9+26} \right)}^{2}} \\ & |u-v+w{{|}^{2}}={{\sqrt{33}}^{2}} \\ & |u-v+w{{|}^{2}}=33 \\ \end{align}\ \)