alguém sabe resolver " como encontrar o ponto da esfera x^2+y^2+z^2=4 mais proximo do ponto (3,3,3).
Cálculo II
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rob figueredo
22/11/2015

Question

alguém sabe resolver " como encontrar o ponto da esfera x^2+y^2+z^2=4 mais proximo do ponto (3,3,3).

Diego · Answer

Seja o ponto P0 = (0,0,0) o centro da esfera e V = (3,3,3) o vetor direção, vamos determinar a reta r que possui a direção V e contém o ponto P0.
 
Tomando P = (x,y,z) como um ponto genérico da reta, teremos: PP0 = tV (equação paramétrica da reta).
 
(x-0,y-0,z-0) = (3t,3t,3t)
 
Segue que a equação paramétrica de r é: 
x = 3t
y = 3t
z = 3t
 
Agora, para encontrar o ponto da esfera x^2+y^2+z^2=4 mais próximo do ponto (3,3,3) precisamos saber o ponto que a reta r corta a esfera.
 
Logo, vamos substituir x, y e z na equação da esfera:
(3t)^2 + (3t)^2 + (3t)^2 = 4
27t^2 = 4
t^2 = 4/27
t' = + raiz(4/27) = 0.3849
t'' = - raiz(4/27) = -0.3849
 
Como queremos o ponto mais próximo de (3,3,3) vamos usar t = + 0.3849.
 
Substituindo na equação da reta:
x = 3 * 0.3849 = 1.1547
y = 3 * 0.3849 = 1.1547
z = 3 * 0.3849 = 1.1547
 
O ponto da esfera x^2+y^2+z^2=4 mais próximo do ponto (3,3,3) é:
 
P = (1.1547, 1.1547, 1.1547).

RD Resoluções · Answer

Para encontrarmos o ponto mais próximo da esfera, devemos realizar os cálculos abaixo:

$\begin{align} & 9{{u}^{2}}+9{{u}^{2}}+9{{u}^{2}}=4 \ & 27{{u}^{2}}=4 \ & u=\pm 0,38 \ & \ & x=3u=1,15 \ & y=3u=1,15 \ & z=3u=1,15 \ & \ & C=(1,15;1,15;1,15) \ \end{align}\ $

Portanto, o ponto da esfera mais próximo de (3,3,3) será $\boxed{{\text{(1}}{\text{,15;1}}{\text{,15;1}}{\text{,15)}}}$.

Henrique Ribeiro · Answer

Esse é um problema de otimização de uma função de três variáveis ligadas porque a distância entre um ponto situado sobre a esfera e o ponto (3, 3, 3) é: D = F(x, y, z) =

Mas z = f(x, y) =

Então basta que se imponha

Lembrando que

Como nas expressões aqui envolvidas as variáveis x e y são intercambiáveis, apenas será necessário derivar em relação a x, sendo a derivada em relação a y análoga. Fazendo isso e impondo-se que ambas as derivadas parciais de primeira ordem sejam nulas, chega-se à solução:

O ponto situado sobre a esfera que é mais próximo de (3, 3, 3) é o ponto

alguém sabe resolver " como encontrar o ponto da esfera x^2+y^2+z^2=4 mais proximo do ponto (3,3,3).

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