Como determinar o ponto do plano x+2y-3z=4 mais próximo da origem?

Para resolver este exercício, vamos utilizar os Multiplicadores de Lagrange e o conceito de Gradiente de Funções.

Os multiplicadores de Lagrange são um método utilizado para encontrar máximos e mínimos, e é dado por:

\(\nabla f(x,y,z) - \lambda \nabla R(x) = 0\), onde

\(f(x,y,z)=(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\) é a função distância ao quadrado, onde \(a\), \(b\) e \(c\) são as coordenadas do ponto de interesse: no nosso caso, tal ponto é a origem, cujo trio de coordenadas é \((0,0,0)\), logo:

\(f(x,y,z)=x^2+y^2+ z^2\) e

\(R(x,y,z)=x+2y-3z-4\) é a função de restrição, dada pela superfície do enunciado.

Agora, vamos aplicar os gradientes nessas funções (isto é, derivar cada função parcialmente em relação a cada variável). Temos que:

\(\nabla f=(2x,2y,2z)\) e

\(\nabla R=(1,2,-3)\).

Então, temos:

\(\begin{align} \nabla f(x,y,z) - \lambda \nabla R(x) &= 0 \\ (2x,2y,2z)- \lambda(1,2,-3) &= 0\\ (2x,2y,2z) &= \lambda(1,2,-3) \\ (2x,2y,2z) &=(\lambda,2\lambda,-3\lambda) \end{align}\)

Note que o ponto mais próximo da origem é dado pelo trio de coordenadas \((x,y,z) \). Portanto, precisamos encontrar o valor de \(\lambda\). Para tanto, a última equação pode ser ajustada no seguinte sistema:

\(\begin{cases} 2x& =& \lambda \\ 2y& =& 2\lambda \\ 2z& =& - 3\lambda \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x& =& \frac{\lambda }{2} \\ y&=& \lambda \\ z& =& \frac{ - 3\lambda }{2} \end{cases}\)

Podemos substituir os valores de \(x\), \(y\) e \(z\) na equação do plano, dada no enunciado. Teremos, assim:

\(\begin{align} x+2y-3z &=4 \\ \frac{\lambda }{2} +2\lambda +\frac{9\lambda}{2} &=4 \\ \lambda &= \frac{4}{7} \end{align}\)

Portanto, o ponto mais próximo da origem é \((x,y,z)=(\frac{\lambda}{2},\lambda,\frac{-3\lambda}{2}) = \boxed{\left( {\frac{2}{7},\frac{4}{7}, - \frac{6}{7}} \right)}\).