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A integração por partes é uma técnica versátil e essencial no Cálculo Integral, facilitando a resolução de integrais que envolvem produtos de funções, funções logarítmicas, funções inversas trigonométricas e outras formas complexas. Em alguns casos, a integração por partes pode ser usada iterativamente para reduzir uma integral complexa a uma forma mais simples ou a uma integral conhecida. A integração por partes é frequentemente usada em análises de séries de Fourier e transformadas de Fourier, onde produtos de funções seno, cosseno e exponenciais aparecem. Em alguns métodos de solução de equações diferenciais, a integração por partes é usada para simplificar termos e encontrar soluções. Para resolver a integral | *E dX, utilizamos a fórmula de integração por partes: ∫udv = uv - ∫vdu. Para resolver a integral devemos eleger os termos u e dv. Para tal, identificamos as partes da função original que serão u e dv. Uma escolha comum é usar a estratégia LIATE (Logaritmos, Inversas trigonométricas, Algébricas, Trigonométricas, Exponenciais) para ajudar a decidir qual função deve ser u. A integração por partes é uma ferramenta poderosa que, quando usada corretamente, pode simplificar a resolução de integrais complexas.
Considerando a fórmula de integração por partes e a integral apresentada, assinale a alternativa correta.
a) ∫xe^x dx = x e^x - e^x + C
b) ∫xe^x dx = x e^x + e^x + C
c) ∫xe^x dx = x e^x + C| Alternativa assinalada
d) ∫xe^x dx = x e^x + ∫e^x + C
e) ∫xe^x dx = e^x + e + C

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UNOPAR

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Ed

há 6 meses

Para resolver a integral \(\int xe^x \, dx\) usando a técnica de integração por partes, vamos aplicar a fórmula: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Escolhendo \(u = x\) e \(dv = e^x \, dx\), temos: - \(du = dx\) - \(v = e^x\) Agora, aplicando a fórmula: \[ \int xe^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx \] A integral \(\int e^x \, dx\) é simplesmente \(e^x\). Portanto, substituindo isso na equação, temos: \[ \int xe^x \, dx = x e^x - e^x + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(\int xe^x \, dx = x e^x - e^x + C\) - Correta. b) \(\int xe^x \, dx = x e^x + e^x + C\) - Incorreta. c) \(\int xe^x \, dx = x e^x + C\) - Incorreta. d) \(\int xe^x \, dx = x e^x + \int e^x + C\) - Incorreta. e) \(\int xe^x \, dx = e^x + e + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é a) \(\int xe^x \, dx = x e^x - e^x + C\).

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Uma fábrica de brinquedos está desenvolvendo um novo modelo de pido que terá o formato de um cone circular reto. A base do cone terá um raio de medida 4 cm e a altura do cone será de 12 cm. O objetivo da fábrica é criar um pião que seja esteticamente agradável e que tenha um bom desempenho ao girar. Para isso, os engenheiros da fábrica estão considerando não apenas as dimensões do pido, mas também o material a ser utilizado, que deve ser leve e resistente. Além disso, a fábrica está preocupada com a segurança do brinquedo, garantindo que todas as bordas sejam suavemente arredondadas para evitar qualquer risco de machucado as crianças. A escolha do formato cônico foi tomada com base em estudos que mostram que este formato permite uma rotação mais estável e prolongada, o que aumenta a diversão para as crianças. Com esses dados, é possível calcular o volume do pido para determinar a quantidade de material necessária para sua fabricação.
Considerando o volume V do pião para os dados apresentados, assinale a alternativa correta.
a) V=64? cm3| Alternativa assinalada
b) V =192? cm3
c) V =128? cmi
d) V = 64 cm:
e) V = 192 cm3

Vetores são entidades matemáticas fundamentais que apresentam magnitude e direção. Eles são amplamente utilizados em diversas áreas, como Física, Engenharia e Computação Gráfica. As operações com vetores são ferramentas essenciais para resolver problemas em várias disciplinas científicas e de engenharia. Compreender como realizar essas operações permite manipular e interpretar vetores de maneira eficaz, facilitando a análise e a solução de problemas complexos. Em Álgebra Linear, a operação de adição de vetores é uma das operações mais fundamentais. Considere dois vetores no espaço bidimensional, u e v, dados por u = (uy, Up) e v = (V1, V2), respectivamente. Assim, segue que o vetor soma é dado por u + v = (uq + vy, U2 + V). Outra operação fundamental é a multiplicação de um vetor por um escalar ?, que é realizada multiplicando-se cada componente do vetor pelo escalar. Desse modo, tem-se: ?U = (?U1, ?U>). Com base no contexto apresentado, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
I. A multiplicação de um vetor por um escalar em um espaço n-dimensional é distributiva em relação à adição de vetores.
II. Para quaisquer vetores u e v em um espaço n-dimensional e um escalar ?, a multiplicação por escalar é dada por ?(u + v) = ?U + ?v.
a) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I.
b) As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.| Alternativa assinalada
c) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa.
d) A asserção I é uma proposição falsa e a II, verdadeira.
e) As asserções I e II são proposições falsas.

Diversas leis importantes da Engenharia são expressas por meio de retas ou semirretas que passam pela origem do sistema cartesiano que relaciona duas grandezas. Essa característica denota uma proporcionalidade entre as variáveis descritas por estas leis. Na Ciência de Materiais, a Lei de Hooke ilustra bem este comportamento, quando o material é submetido a um carregamento que não excede o limite de elasticidade do material, a deformação é proporcional à tensão gerada pela aplicação de uma força em um componente. De modo geral, quando uma grandeza y é diretamente proporcional a outra grandeza x, a relação entre essas grandezas é da forma y = mx, sendo m uma constante. Considere uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano. A equação dessa reta pode ser expressa na forma y = mx, onde m é o coeficiente angular da reta. Essa forma simplificada da equação da reta é particularmente útil para entender a relação entre a inclinação da reta e o valor de m.
Considerando as informações apresentadas sobre retas que passam pela origem do sistema de coordenadas, analise as afirmativas a seguir:
I. Se o coeficiente angular for positivo e aumentar cada vez mais, a reta inclinará-se em direção ao eixo y, no sentido anti-horário.
II. Se o coeficiente angular for negativo e diminuir cada vez mais, a reta inclinará-se em direção ao eixo y, no sentido horário.
III. Se o coeficiente angular for zero, a reta coincidirá com o eixo y, ou seja, com o eixo das ordenadas.
IV. Independentemente do valor do coeficiente angular, a reta não terá interseção com qualquer um dos eixos.
a) I e II| Alternativa assinalada
b) I e III.
c) II e IV.
d) I, II e IV.
e) I, II, III e IV.

Considere a função a seguir: f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1. Assumiremos que esta função representa a posição de uma partícula ao longo de uma linha reta em função do tempo x. Para entender melhor o movimento da partícula, é necessário determinar a velocidade e a aceleração em qualquer instante x. Sabe-se que a velocidade é dada pela derivada da posição em relação ao tempo, e é representada por f'(x). Já a aceleração é dada pela derivada da velocidade, ou seja, a segunda derivada da posição em relação ao tempo, e é representada por f''(x). Além disso, é importante identificar os pontos críticos da função para determinar onde a partícula muda de direção. Esses pontos críticos são encontrados resolvendo f'(x) = 0. Com base nisso, é possível analisar de forma mais assertiva o comportamento da partícula ao longo do tempo, identificando intervalos de aumento e diminuição da função, bem como os pontos de máximo e mínimo locais, o que é interessante em problemas de Física, Engenharia, dentre outros.
Considerando a função f(x) apresentada no texto, assinale a alternativa correta.
A) A velocidade da partícula é dada por f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 e a aceleração é dada por f''(x) = 6x - 12. Os pontos críticos são x = 1 e x = 3.| Alternativa assinalada
B) A velocidade da partícula é dada por f'(x) = 3x^2 + 12x + 9 e a aceleração é dada por f''(x) = 6x - 12. Os pontos críticos são x = -1 e x = -3.
C) A velocidade da partícula é dada por f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 e a aceleração é dada por f''(x) = 6x + 12. Os pontos críticos são x = -1 e x = -3.
D) A velocidade da partícula é dada por f'(x) = 3x^2 + 12x + 9 e a aceleração é dada por f''(x) = 6x + 12. Os pontos críticos são x = 1 e x = 3.
E) A velocidade da partícula é dada por f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 e a aceleração é dada por f''(x) = 6x + 12. Os pontos críticos são x = 1 e x = 3.

Os conteúdos matemáticos na Educação Básica desempenham um papel fundamental no desenvolvimento cognitivo e na formação de habilidades essenciais para a vida cotidiana. Desde os primeiros anos escolares, os estudantes são introduzidos a conceitos fundamentais como números, operações aritméticas, geometria e medidas. À medida que avançam, esses conceitos são aprofundados e expandidos para incluir álgebra, estatística e probabilidade. A Matemática não só promove o raciocínio lógico e a resolução de problemas, mas também é vital para o desenvolvimento de competências em outras áreas do conhecimento, como Ciências e Tecnologia. Além disso, a Educação Matemática fomenta a capacidade de pensamento crítico e a habilidade de tomar decisões informadas. É essencial que os professores utilizem metodologias diversificadas e recursos didáticos inovadores para tornar o aprendizado mais significativo e engajador. Dessa forma, os conteúdos matemáticos na Educação Básica não apenas preparam os alunos para desafios acadêmicos futuros, mas também para uma participação ativa e consciente na sociedade.
Considerando os conteúdos matemáticos na Educação Básica, assinale a alternativa correta.
a) Os conteúdos matemáticos na Educação Básica são limitados a operações aritméticas e geometria, sem incluir álgebra ou estatística.
b) A matemática na Educação Básica não tem impacto significativo no desenvolvimento de habilidades em outras áreas do conhecimento.
c) Professores de matemática na Educação Básica devem utilizar metodologias diversificadas e recursos inovadores para tornar o aprendizado mais engajador.| Alternativa assinalada
d) O ensino de matemática na Educação Básica não contribui para o desenvolvimento do pensamento crítico da capacidade de tomar decisões informadas.
e) A educação matemática na Educação Básica prepara os alunos exclusivamente para desafios acadêmicos, sem relevância para a participação na sociedade.

O ensino da Matemática está profundamente enraizado em contextos históricos e culturais que moldaram sua evolução ao longo dos séculos. Desde as civilizações antigas, como os egípcios e babilônios, que desenvolveram sistemas numéricos e técnicas de cálculo para resolver problemas práticos, até os gregos, que formalizaram a Matemática como uma disciplina rigorosa, a história da Matemática reflete a diversidade e a riqueza das contribuições humanas. Na Idade Média, matemáticos árabes e persas preservaram e expandiram o conhecimento grego, introduzindo conceitos como o da álgebra. Durante o Renascimento, a matemática europeia floresceu com a redescoberta de textos antigos e o desenvolvimento de novas teorias. Culturalmente, a Matemática tem sido uma ferramenta essencial para a construção de sociedades, influenciando áreas como arquitetura, comércio e navegação. No ensino contemporâneo, reconhecer esses contextos históricos e culturais enriquece a compreensão dos estudantes, mostrando que a Matemática é uma linguagem universal que transcende fronteiras e épocas, conectando diferentes culturas.
Considerando os contextos históricos e culturais no ensino da Matemática, assinale a alternativa correta.
a) A matemática desenvolvida pelos egípcios e babilônios era exclusivamente voltada para aplicações em arquitetura e não tinha utilidade em outras áreas práticas.
b) O Renascimento foi um período em que a matemática europeia declinou devido a falta de interesse em textos antigos e novas teorias.
c) A preservação e expansão do conhecimento matemático grego pelos matemáticos árabes e persas na Idade Média foram fundamentais no desenvolvimento da álgebra.| Alternativa assinalada
d) A matemática como disciplina rigorosa foi formalizada pela primeira vez durante o Renascimento, com pouca influência das civilizações antigas.
e) No ensino contemporâneo, a Matemática é ensinada sem considerar os contextos históricos e culturais, focando apenas em técnicas e fórmulas.

necessidades e dificuldades dos alunos, bem como as práticas pedagógicas mais eficazes. A análise dos dados coletados durante a observação possibilita uma compreensão aprofundada dos desafios enfrentados, orientando a escolha de estratégias didáticas adequadas.
Considerando as informações apresentadas, analise as afirmativas a seguir:
I. A observação sistemática das práticas pedagógicas em sala de aula é fundamental para identificar de maneira precisa as necessidades individuais dos alunos em Matemática, permitindo intervenções pedagógicas mais direcionadas e eficazes.
II. A análise detalhada dos dados coletados durante a observação possibilita uma compreensão aprofundada dos padrões de aprendizagem e das dificuldades específicas enfrentadas pelos alunos, orientando a seleção de estratégias didáticas mais adequadas e personalizadas.
III. O planejamento dos conteúdos de Matemática deve ser rígido e inflexível para garantir que todos os tópicos sejam abordados de maneira uniforme, independentemente das necessidades e do ritmo de aprendizagem dos alunos.
IV. A integração de tecnologias educacionais avançadas, como softwares de matemática interativos e plataformas de aprendizagem online, pode enriquecer significativamente o ensino da Matemática, tornando-o mais dinâmico, envolvente e adaptado às demandas do século XXI.
a) I e III.
b) II e IV.
c) I, II e III.
d) I e II.
e) I, II e IV.

Os recursos didáticos de Matemática para a Educação Básica desempenham um papel fundamental no processo de ensino-aprendizagem. Eles incluem materiais concretos, como ábacos, blocos lógicos e quebra-cabeças, como o tangram, que ajudam os alunos a visualizarem conceitos abstratos. Além disso, recursos digitais, como softwares educativos e aplicativos interativos, oferecem uma abordagem dinâmica e envolvente, facilitando a compreensão de tópicos complexos.
Com base no contexto apresentado, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. Os recursos didáticos de Matemática, como ábacos e aplicativos interativos, ajudam os alunos a visualizarem conceitos abstratos e facilitam a compreensão de tópicos complexos.
II. O uso de recursos didáticos de Matemática é eficaz apenas para alunos com dificuldades de aprendizagem, não beneficiando aqueles com bom desempenho.
a) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I.
b) As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.
c) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa.
d) A asserção I é uma proposição falsa e a II, verdadeira.
e) As asserções I e II são proposições falsas.