Para resolver essa questão, vamos primeiro entender a distribuição binomial e a probabilidade dada. 1. Distribuição de X: \(X \sim b(2, p)\) - A probabilidade de \(X = 0\) é dada por: \[ P(X = 0) = (1 - p)^2 \] Portanto, a probabilidade de \(X \geq 1\) é: \[ P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^2 \] Sabemos que \(P(X \geq 1) = \frac{5}{9}\), então: \[ 1 - (1 - p)^2 = \frac{5}{9} \] Isso implica que: \[ (1 - p)^2 = \frac{4}{9} \] Portanto, \(1 - p = \frac{2}{3}\) ou \(1 - p = -\frac{2}{3}\) (não faz sentido, pois \(p\) deve estar entre 0 e 1). Assim, temos: \[ p = \frac{1}{3} \] 2. Distribuição de Y: \(Y \sim b(4, p)\) - Agora, precisamos calcular \(P(Y = 1)\): \[ P(Y = 1) = \binom{4}{1} p^1 (1 - p)^{4 - 1} \] Substituindo \(p = \frac{1}{3}\): \[ P(Y = 1) = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right)^3 = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 \] Calculando: \[ P(Y = 1) = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{27} = \frac{32}{81} \] Portanto, a resposta correta é: C) 32/81.