4 Variáveis Aleatórias Discretas Unidimens

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1 Marcar para revisão
Considere duas variáveis aleatórias discretas X
e Y, ambas com distribuição binomial. Sabe-se
que: X: b (2, p) e Y: b (4, p). Se P (X  1) = 5/9
então P (Y = 1) é: 
≥
65/81
16/81
32/81
16/27
40/81
Resposta incorreta
Questão 1 de 10
Corretas (2)
Incorretas (8)
Em branco (0)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Variáveis… Sair
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D
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Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, precisamos
primeiro encontrar o valor de p. Sabemos
que P(X>=1) = 5/9, o que significa que 1 -
P(X=0) = 5/9. Como X segue uma
distribuição binomial com parâmetros 2 e
p, P(X=0) = (1-p)^2. Resolvendo a equação,
encontramos p = 1/3. Agora, podemos
encontrar P(Y=1) usando a fórmula da
distribuição binomial: P(Y=1) = 4*(1/3)*
(2/3)^3 = 32/81.
2 Marcar para revisão
Um estudante marca, ao acaso, as respostas de
um teste de 10 questões de múltipla escolha,
com 4 alternativas por questão. O número mais
provável de acertos é:
1.
2.
3.
4.
5.
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Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para calcular o número mais provável de
acertos em um teste de múltipla escolha
com 10 questões, cada uma com 4
alternativas, você pode usar a distribuição
binomial. A distribuição binomial modela a
probabilidade de sucesso (acerto) ou
fracasso (erro) em cada tentativa
independente.
Nesse caso, a probabilidade de acertar
cada questão é de 1/4, já que há 4
alternativas e apenas uma delas é a
correta.
A média (valor esperado) de acertos em
um teste binomial pode ser calculada
usando a fórmula:
Média = n * p
onde:
n é o número de tentativas (neste
caso, 10 questões).
p é a probabilidade de sucesso em
cada tentativa (neste caso, 1/4).
Média = 10 * (1/4) = 10/4 = 2,5
Portanto, o número mais provável de
acertos é 2,5. No entanto, como não é
possível ter um número fracionário de
acertos em um teste real, arredondamos
para o valor inteiro mais próximo. Nesse
caso, o número mais provável de acertos é
2.
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C
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3 Marcar para revisão
Em uma pesquisa de opinião, foi questionado a
um grupo de pessoas qual a sua preferência de
sorvete: chocolate, baunilha, morango ou
pistache. Os resultados foram registrados e
analisados utilizando a função de massa de
probabilidade. Considerando essa situação,
qual das alternativas abaixo melhor representa
a natureza da função de massa de
probabilidade nesse contexto?
Número total de pessoas entrevistadas
na pesquisa.
Cor dos questionários utilizados na
coleta de dados.
Probabilidade de uma pessoa preferir
um sabor específico de sorvete.
Identificação única de cada pessoa
que participou da pesquisa.
Média aritmética das preferências de
sorvete registradas na pesquisa.
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
A função de massa de probabilidade é
aplicada quando se trabalha com variáveis
aleatórias discretas, como no caso da
pesquisa sobre preferência de sorvete.
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A
B
C
Nesse contexto, a função de massa de
probabilidade seria utilizada para calcular a
probabilidade de uma pessoa preferir um
sabor específico de sorvete, considerando
a distribuição das respostas. A alternativa
“Probabilidade de uma pessoa preferir um
sabor específico de sorvete.” é a correta,
pois está relacionada à aplicação da
função de massa de probabilidade para
calcular as probabilidades das preferências
de sorvete registradas na pesquisa,
conforme a definição e as características
dessa função.
4 Marcar para revisão
Em uma urna contendo 30 bolas, sendo 10
vermelhas e 20 azuis, deseja-se retirar uma
amostra de 5 bolas sem reposição.
Considerando a distribuição hipergeométrica,
qual das alternativas abaixo melhor representa
a natureza da variável aleatória X nesse
contexto?
Número total de bolas na urna.
Cor das bolas na amostra selecionada.
Probabilidade de uma bola vermelha
ser selecionada na amostra.
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D
E
Identificação única de cada bola na
urna.
Média aritmética do número de bolas
vermelhas na amostra.
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
A distribuição hipergeométrica é aplicada
quando há uma amostra retirada sem
reposição de uma população finita,
contendo elementos com diferentes
características. No contexto da urna
contendo bolas vermelhas e azuis, a
variável aleatória X representa o número de
sucessos (bolas vermelhas) na amostra.
Portanto, a variável aleatória X assume
valores discretos, podendo variar de 0 a r
(número de bolas vermelhas na
população). A média aritmética do número
de bolas vermelhas na amostra é um
indicador importante e representa a
natureza dessa distribuição nesse
contexto. Portanto, a alternativa “Média
aritmética do número de bolas vermelhas
na amostra.” é a correta, pois está
relacionada à aplicação da distribuição
hipergeométrica para calcular a média do
número de bolas vermelhas na amostra, de
acordo com a definição e as características
dessa distribuição.
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B
C
5 Marcar para revisão
Um restaurante popular em uma cidade recebe
diariamente um grande número de clientes para
suas refeições. A administração está
interessada em estudar a ocorrência de um
evento específico: o número de vezes que um
cliente derruba um utensílio durante o horário
do almoço. O processo de Poisson é utilizado
para modelar esse evento, considerando que
ele ocorre em intervalos contínuos de tempo.
Qual dos seguintes exemplos se encaixa como
um processo de Poisson?
       I.          Número de acidentes de trânsito por
mês em uma cidade.
      II.          Número de encomendas online
recebidas por hora em uma loja virtual.
    III.          Número de pacotes de
correspondência extraviados por dia em um
centro de distribuição.
    IV.          Número de gols marcados por
partida em um campeonato de futebol.
     V.          Número de erros ortográficos por
página em um livro.
É correto o que se afiram afirma apenas em:
I, II e III.
II, IV e V.
III, IV e V
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D
E
I, II, III e V.
I, II, III e IV.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra
D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O processo de Poisson é aplicado quando
eventos discretos ocorrem em intervalos
contínuos. Nos exemplos I, II, III e V, os
eventos mencionados podem ocorrer em
intervalos contínuos de tempoou em uma
área específica, seguindo a natureza do
processo de Poisson. No entanto, o
número de gols marcados por partida em
um campeonato de futebol não é adequado
para ser modelado por um processo de
Poisson, pois o tempo de uma partida de
futebol é discreto e finito, não um intervalo
contínuo. Portanto, o exemplo que não se
encaixa como um processo de Poisson é a
alternativa IV.
6 Marcar para revisão
O símbolo E( ) indica o operador esperança ou
expectativa matemática. Sendo X e Y variáveis
aleatórias, a expressão abaixo nem sempre
válida é:
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A
B
C
D
E
E(X + 3) = E(X) + 3
E(3X) = 3 E(X)
E(XY) = E(X) E(Y)
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(X - Y) = E(X) - E(Y)
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
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Gabarito Comentado
A alternativa correta é a que afirma que
E(XY) = E(X) E(Y). Esta expressão não é
sempre válida. Ela só é verdadeira quando
as variáveis aleatórias X e Y são
independentes. Caso contrário, a
expectativa do produto de X e Y não é
necessariamente igual ao produto das
expectativas individuais de X e Y. Portanto,
essa é a única expressão entre as
alternativas que não é sempre válida.
7 Marcar para revisão
Um fabricante de brinquedos realiza testes de
qualidade em seus produtos. Durante o
processo de produção, há uma probabilidade
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A
B
C
D
E
de 0,2 de um brinquedo ser considerado
defeituoso. Considerando a importância da
distribuição binomial, qual das alternativas
abaixo melhor representa a natureza dessa
distribuição nesse contexto?
Número total de brinquedos
produzidos pela empresa.
Cor da embalagem utilizada para os
brinquedos.
Probabilidade de um brinquedo ser
selecionado aleatoriamente para o
teste de qualidade.
Identificação única de cada brinquedo
produzido.
Média aritmética da quantidade de
brinquedos defeituosos encontrados
nos testes.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra
E. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A distribuição binomial é aplicada quando
há um experimento com um número fixo de
tentativas independentes, cada uma com
dois resultados possíveis, sucesso ou
fracasso. No contexto do fabricante de
brinquedos realizando testes de qualidade,
a distribuição binomial é utilizada para
analisar a quantidade de brinquedos
defeituosos encontrados nos testes. A
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A
B
C
média aritmética dessa quantidade é um
indicador importante para a qualidade dos
produtos e representa a natureza dessa
distribuição nesse contexto. Portanto, a
alternativa “Média aritmética da quantidade
de brinquedos defeituosos encontrados
nos testes.” é a correta, pois está
relacionada à aplicação da distribuição
binomial para calcular a média da
quantidade de brinquedos defeituosos nos
testes de qualidade, de acordo com a
definição e as características dessa
distribuição.
8 Marcar para revisão
Uma empresa de streaming de música realiza
uma pesquisa para analisar a preferência
musical dos usuários. Considerando a definição
de variável aleatória discreta, qual das
alternativas abaixo melhor representa a
natureza da variável aleatória nesse contexto?
Número total de usuários que
participaram da pesquisa.
Duração das músicas mais
reproduzidas pelos usuários.
Probabilidade de um usuário preferir
um determinado gênero musical.
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D
E
Identificação única de cada usuário
participante da pesquisa.
Média aritmética das preferências
musicais dos usuários.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra
C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Uma variável aleatória discreta é aquela em
que os possíveis valores assumidos são
finitos ou infinitos enumeráveis. Nesse
contexto, a variável aleatória discreta seria
aplicada para descrever a probabilidade de
um usuário preferir um determinado gênero
musical, pois os gêneros musicais podem
ser considerados como valores discretos.
A alternativa “Probabilidade de um usuário
preferir um determinado gênero musical.” é
a correta, pois está relacionada à aplicação
da variável aleatória discreta para calcular
a probabilidade de preferência musical dos
usuários, considerando a definição e as
características dessa variável.
9 Marcar para revisão
Uma empresa de delivery de pizzas recebe uma
média de 4 pedidos por hora durante a noite. A
empresa está interessada em analisar a
ocorrência de um determinado evento: o
número de pedidos recebidos em um intervalo
contínuo de 2 horas. Qual das seguintes
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A
B
C
D
E
afirmações sobre a distribuição de Poisson é
correta para esse contexto?
A média e a variância do número de
pedidos recebidos em 2 horas são
iguais a 4.
A distribuição de Poisson é adequada
para modelar o número de pedidos
recebidos em um intervalo contínuo de
tempo.
O parâmetro λ, que representa a taxa
média de ocorrência de eventos, é
igual a 8.
Os eventos de pedidos são
dependentes entre si.
A distribuição de Poisson é aplicada
somente a eventos frequentes.
Resposta incorreta
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B. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A afirmação “A distribuição de Poisson é
adequada para modelar o número de
pedidos recebidos em um intervalo
contínuo de tempo.” é correta, pois a
distribuição de Poisson é adequada para
modelar o número de eventos raros em um
intervalo contínuo de tempo.
No contexto dado, a média de pedidos por
hora é 4, portanto, a média e a variância do
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número de pedidos recebidos em 2 horas
seriam iguais a 4 x 2 = 8.
O parâmetro λ, que representa a taxa
média de ocorrência de eventos, é igual à
média, ou seja, λ = 4. Os eventos de
pedidos são considerados independentes
entre si.
A distribuição de Poisson não é aplicada
apenas a eventos frequentes, mas também
a eventos raros.
10 Marcar para revisão
Em uma população finita de tamanho N, onde
existem k indivíduos com uma característica de
interesse, ao se selecionar uma amostra
aleatória de tamanho n sem reposição, o
número de indivíduos com a característica na
amostra (R) é uma variável aleatória com
distribuição hipergeométrica. A probabilidade
de se ter exatamente r indivíduos na amostra
com a característica de interesse é dada por:
I. Para N = 100, k = 20, n = 10 e r = 3, E(R) = 2 e
Var(R) = 144/99.
II. Para N = 100, k = 20, n = 5 e r = 3, E(R) = 1 e
Var(R) = 8/10.
III. Para N = 10000, k = 2000, n = 100 e r = 3,
E(R) = 20 e Var(R) = 15,84.
IV. Para N = 10000, k = 1000, n = 100 e r = 3,
E(R) = 10 e Var(R)   9.≅
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A
B
C
D
E
V. Para N = 10000, k = 2000, n = 10 e r = 0, P(R
= 0)   0,1074.
Estão corretas apenas as alternativas
≅
I e III
II e IV
I, III, e IV
I, III, IV e V
II, III, IV e V
Respostaincorreta
Opa! A alternativa correta é a letra
B. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A resposta correta é: II e IV
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