como calcular lim(x^4cos(1/x)) x->0

Eu fiquei um pouquinho na dúvida se o cos(1/x) está multiplicando o x⁴ ou se ele está no expoente multiplicando o 4, de qualquer forma, olhe só os resultados.

lim (x⁴)(cos(1/x)) x->0

cos (1/x) quando x tende a 0 temos, cos (infinito), mas o cosseno é uma função limitada, isso quer dizer que ele pode assumir apenas alguns determinados valores, que são [-1,1].

A função x⁴ com x tendendo a 0, resulta em 0. Ou seja, vamos ter:

0*(um número que está no intervalo [-1.1]) = 0

lim x^(4cos(1/x)) x->0

Temos algo então da forma 0^cos(infinito), que é uma forma indeterminada se o valor do cosseno for 0, e existem métodos que podem ser utilizados nesse caso, para que seja possível escrever a expressão de uma forma melhor para se trabalhar, como por exemplo da forma 0/0, mas não deu para fazer isso com esta função. 

Sabemos que se \(f(x)=h(x)g(x)\), 

\(\lim_{x\rightarrow0} h(x)=0\) e 

\(|g(x)|<m\)

onde \(m\) é um número real positivo. Então podemos concluir que:

\(\lim_{x\rightarrow0} f(x)=\\ =\lim_{x\rightarrow0} h(x)g(x)=0\)

Agora sendo, \(f(x)=x^4 \cos(x)\), escrevemos:

\(h(x)=x^4\) e \(g(x)=\cos(x)\)

e como \(\lim_{x\rightarrow0} x^4=0\) e 

\(|\cos(x)|<1\), então podemos cocluir que:

\(\lim_{x\rightarrow0} f(x)=\\ =\lim_{x\rightarrow0} x^4\cos(x)=0\)