Para encontrar a área da região limitada pela curva \(y = x^3 + x\), pelo eixo \(x\) e pelas retas \(x = 0\) e \(x = 2\), precisamos calcular a integral definida da função entre esses limites. 1. Encontrar a integral: A integral de \(y = x^3 + x\) é: \[ \int (x^3 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C \] 2. Calcular a integral definida de 0 a 2: \[ \int_0^2 (x^3 + x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right]_0^2 \] Calculando em \(x = 2\): \[ \frac{2^4}{4} + \frac{2^2}{2} = \frac{16}{4} + \frac{4}{2} = 4 + 2 = 6 \] E em \(x = 0\): \[ \frac{0^4}{4} + \frac{0^2}{2} = 0 \] Portanto, a área é: \[ 6 - 0 = 6 \] 3. Analisando as alternativas: Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao valor da área que encontramos (6). Parece que houve um erro nas opções fornecidas, pois a área calculada é 6. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há mais informações.