Lista 1

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Universidade Federal do Piaúı
Centro de Educação Aberta e a Distância-CEAD-UFPI
Coordenação de Lic. em F́ısica
Professor: Dr. Antonio Wilson Rodrigues da Cunha
Lista 1
(1) Calcule as integrais abaixo.
a)
∫ 4
0
1
2
dx b)
∫ 0
1
(2x+ 3)dx c)
∫ 8
0
3
√
xdx
d)
∫ 2
1
1 + x√
x
dx e)
∫ π
3
0
(3 + cos(3x))dx f)
∫ 1
−1
x3ex
4
dx
(2) Use mudança de variável para resolver as seguintes integrais.
a)
∫ 1
1
2
√
2x− 1dx b)
∫ 1
0
1
(x+ 1)5
dx c)
∫ 1
0
xex
2
dx
d)
∫ 0
−1
x2
√
1 + x3dx e)
∫ π
3
0
sinx cos2 xdx f)
∫ π
2
π
3
sin3 xdx
(3) O trabalho realizado por uma força variável com a posição no deslocamento de x = a
até x = b, é dado por
τ =
∫ b
a
f(x)dx,
onde
−→
F (x) = f(x)
−→
i . Sobre uma part́ıcula que se desloca sobre o eixo x atua uma força
cuja componente na direção do deslocamente é f(x). Calcule o trabalho realizado pela
força quando a part́ıcula se desloca de x = a até x = b, sendo dados
(a) f(x) = 3, a = 0 e b = 2
(b) f(x) = x, a = −1 e b = 3
(c) f(x) = − 2
x2 , a = 1 e b = 2
(d) f(x) = −3x, a = −1 e b = 1
(4) Use integração por partes para resolver as integrais abaixo.
a)
∫
arctanxdx b)
∫
x2 sinxdx c)
∫
ex cosxdx
d)
∫
cos2 xdx e)
∫
(lnx)2dx f)
∫
x(lnx)2dx
(5) Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para avaliar a integral.
a)
∫
sin
√
xdx b)
∫ 4
1
e
√
xdx c)
∫ √
π
√
π/2
x3 cos(x2)dx
d)
∫
x5ex
2
dx
2
(6) Verifique que∫
secn xdx =
1
n− 1
secn−2 x tanx+
n− 2
n− 1
∫
secn−2 xdx,
onde n > 1 é um natural.
(7) Verifique que, para todo natural n ̸= 0, tem-se
(a)
∫
sinn xdx = − 1
n
sinn−1 x cosx+
n− 1
n
∫
sinn−2 xdx
(b)
∫
cosn xdx =
1
n
cosn−1 x sinx+
n− 1
n
∫
cosn−2 xdx
(8) Utilizando as fórmulas acima calcule.
(a)
∫
sec5 xdx
(b)
∫
sin3 xdx
(c)
∫
cos6 xdx
(9) Use substituição trigonométrica para resolver as integrais abaixo.
a)
∫ √
1− x2dx b)
∫ √
1 + x2dx c)
∫ √
1− (x− 1)2dx
d)
∫ r
−r
√
r2 − x2dx e)
∫
x2
√
1− x2dx f)
∫ √
1 + exdx
(10) Calcule as integrais dos produtos.
a)
∫
sin(2x) cos(2x)dx b)
∫
sin14 x cos3 xdx c)
∫
tan7 x sec3 xdx
d)
∫
cos3(2x) sin(2x)dx e)
∫
cos3 x sin2 xdx f)
∫
sin3 x cos2 xdx
(11) Resolva as seguintes integrais por frações parciais.
a)
∫
1
x2 − 4
dx b)
∫
x
(x2 − 5x+ 6)
dx c)
∫
1
x2 − x− 2
dx
d)
∫
2x− 3
(x− 1)3
dx e)
∫
2
(x+ 2)(x− 1)2
dx f)
∫
x5 + x+ 1
x3 − 8
dx
g)
∫
4x+ 1
x2 + 6x+ 12
dx h)
∫
x+ 2
x3 + 2x2 + 5x
dx i)
∫
2x2 + 4
x3 − 8
dx
(12) Ache a área da região limitada pela reta x = 2, o eixo Ox e a parábola y = x2.
(13) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = 5− x2 e y = x+ 3.
(14) Calcule a área da região limitada pelas curvas x = y2, y − x = 2, y = −4 e y = 3.
3
(15) Ache a área de um terreno com formato de um triângulo retângulo de base b e altura h.
(16) Ache a área limitada pela elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
(17) Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno eixo Ox, da região limitada
pela curva y =
√
x e a reta x = 3.
(18) Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno eixo Ox, da região limitada
pela curva y = ex e as retas x = −3 e x = 4.
(19) Encontre o volume de uma esfera de raio r gerada pela rotação, em torno eixo Ox, da
região limitada pela curva y =
√
r2 − x2.
(20) Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno eixo Ox, da região limitada
pela curva y = sinx e as retas x = 0 e x = 3π/2.
(21) Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno eixo Ox, da região limitada
pela curva y = cosx e as retas x = 0 e x = π.
(22) Determinar o volume do sólido formado pela rotação da figura plana, limitada por y = x
e pelo segmento −1 ≤ x ≤ 3, em torno do eixo y.
(23) Determinar o volume do sólido formado pela rotação da figura plana, limitada por
f(x) = x2 e g(x) = x e pelo segmento 1 ≤ x ≤ 2, em torno do eixo x.
(24) Determinar a área de superf́ıcie do sólido formado pela rotação da figura plana, limitada
por f(x) = x e pelo segmento 0 ≤ x ≤ 3, em torno do eixo x.
(25) Determinar a área de superf́ıcie do sólido formado pela rotação da figura plana, limitada
por f(x) =
√
a2 − x2 e pelo segmento −a ≤ x ≤ a com a > 0, em torno do eixo x.
(26) Determine o comprimento do gráfico de f , onde f(x) = x2, e 0 ≤ x ≤ 4.
(27) Determine o comprimento do gráfico de f , onde f(x) =
√
a2 − x2, e −a ≤ x ≤ a, com
a > 0.
(28) Determinar comprimento da curva α dada em forma paramétrica por x = t, y = 2t com
t ∈ [0, 1].
4
(29) Encontre o comprimento da curva α dada em forma paramétrica por x = et cos t,
y = et sin t, com t ∈ [0, π].
(30) Encontre o comprimento da curva dada em coordenadas polares:
(a) ρ = 1 + cos θ, 0 ≤ θ ≤ π.
(b) ρ = e−θ, 0 ≤ θ ≤ 2π.
(c) ρ = sec θ, 0 ≤ θ ≤ π
3 .
(31) Calcule a área cuja a equação da curva em coordenadas polares é ρ = 1 − sin θ, com
0 ≤ θ ≤ 2π.
”Bom trabalho!.”