Vamos calcular a área da região limitada pela curva \( y = x^3 + x \), pelo eixo \( x \) e pelas retas \( x = -2 \) e \( x = 0 \). Passo 1: Identificar a área entre a curva e o eixo \( x \) no intervalo \([-2, 0]\). Passo 2: Calcular a integral definida do valor absoluto da função, pois a área é sempre positiva. Vamos verificar o sinal da função no intervalo: - Para \( x = -2 \): \[ y = (-2)^3 + (-2) = -8 - 2 = -10 < 0 \] - Para \( x = 0 \): \[ y = 0^3 + 0 = 0 \] A função é negativa no intervalo \([-2, 0)\) e zero em \( x=0 \). Portanto, a área é: \[ A = \int_{-2}^{0} |x^3 + x| \, dx = - \int_{-2}^{0} (x^3 + x) \, dx \] porque \( x^3 + x < 0 \) nesse intervalo. Passo 3: Calcular a integral: \[ \int (x^3 + x) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C \] Passo 4: Avaliar a integral definida: \[ \int_{-2}^{0} (x^3 + x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} = \left(0 + 0\right) - \left( \frac{(-2)^4}{4} + \frac{(-2)^2}{2} \right) = 0 - \left( \frac{16}{4} + \frac{4}{2} \right) = 0 - (4 + 2) = -6 \] Passo 5: Como a função é negativa no intervalo, a área é o valor absoluto: \[ A = |-6| = 6 \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a 6, mas a alternativa D parece ser "-6", que é o valor da integral, não da área. Se a questão pede a área, o valor correto é 6. Se a alternativa correta não está listada, pode haver erro na formulação da questão. Resposta correta: 6 (área da região). Se precisar escolher entre as alternativas dadas, nenhuma corresponde exatamente ao valor correto da área.