A meia-vida do fósforo32 é de cerca de 14 dias. Havia 6,6 gramas presentes inicialmente.

a) A amostra que contém N núcleos radioativos, tem uma taxa de decaimento dos núcleos, -dN/dt, é proporcional a N.

-dN/dt = λt => -dN/N = λdt => ∫dN/N = -λ∫dt => ln N - ln N0 = -λ(t - t0)

ln N/N0 = -λt => N/N0 = e^(-λt) => N = N0(e^(-λt))

b) Para saber quanto tempo levará para restar apenas 1 grama na amostra, devemos descobrir algumas das incógnitas que estão na fórmula acima.

Também estamos interessados na taxa de decaimento R, para que possamos relacionar o tempo de meia-vida do elemento. 

R = -dN/dt = -N0(-λ)(e^(-λt)) = N0λ(e^(-λt)) => Fazendo N0λ = R0 => R = R0e^(-λt)

Agora, vamos descobrir como a meia-vida do material se relaciona com algumas das nossas incógnitas. 

Sabemos que quando t igual a meia-vida do material, vamos chamá-la de T1 essa meia-vida, o material terá uma taxa de decaimento R = R0/2

Assim, R0/2 = R0e^(-λT1) => T1 = (ln 2)/λ

Agora, vamos descobrir quem é essa constante de desintegração λ:

14 dias = (ln 2)/λ => λ = (ln 2)/(14 dias) ≈ 0,05/dia

Agora, vamos descobrir quantos átomos havia na amostra inicial. Para isso, vamos usar a massa molar do fósforo32 como se fosse a do fósforo normal. Temos então que, 31 g de fósforo contém 1 mol, 6,6 g conterá quantos mols? Fazendo a regrinha de 3, descobrimos que 6,6 g equivale a 0,213 mols, lembrando que 1 mol é 6,023 x 10^23 átomos, temos que N0 = 1,3 x 10^23 átomos.

N = (1,3 x 10^23 átomos)e^(-0,05/dia)t

Agora, precisamos saber quantos mols tem em 1 grama de fósforo32, para isso, fazemos uma nova regrinha de 3 parecida com a de cima, e o resultado é 0,2 x 10^23 átomos

 0,2 x 10^23 átomos = (1,3 x 10^23 átomos)e^(-0,05/dia)t

0,15 = e^(-0,05/dia)t => -1,9 = -0,05t => t ≈ 38 dias.

a) a quantidade de fosforo em função do tempo é dada por:

\(n=\frac{{{n}_{0}}}{{{2}^{x}}} \)

b)

Calcularemos o tempo para restar 1 grama:

\(\begin{align} & n=\frac{{{n}_{0}}}{{{2}^{x}}} \\ & 1=\frac{6,6}{{{2}^{x}}} \\ & {{2}^{x}}=6,6 \\ & x=2,74\text{ } \\ & \text{t=2}\text{,74}\cdot \text{14} \\ & \text{t=38}\text{,36dias} \\ \end{align}\)

\(\boxed{t = 38,36{\text{ dias}}}\)