Para resolver essa questão, vamos analisar a multiplicação \( AB \times C = AAA \), onde \( AAA \) é um número de três algarismos iguais, ou seja, \( AAA = A \times 111 \). Sabemos que \( 111 = 3 \times 37 \), então podemos reescrever a equação como: \[ AB \times C = A \times 111 \] Isso implica que: \[ AB \times C = A \times 3 \times 37 \] Agora, \( AB \) é um número de dois dígitos que pode ser expresso como \( 10A + B \). Assim, temos: \[ (10A + B) \times C = A \times 3 \times 37 \] Para que \( A, B \) e \( C \) sejam algarismos diferentes de zero e distintos entre si, precisamos encontrar valores que satisfaçam essa equação. Vamos testar alguns valores para \( A \): 1. Se \( A = 1 \): \[ (10 \times 1 + B) \times C = 1 \times 3 \times 37 = 111 \] \[ (10 + B) \times C = 111 \] Para \( C = 1 \), \( 11 \times 1 = 11 \) (não serve). Para \( C = 2 \), \( 12 \times 2 = 24 \) (não serve). Para \( C = 3 \), \( 13 \times 3 = 39 \) (não serve). Para \( C = 4 \), \( 14 \times 4 = 56 \) (não serve). Para \( C = 5 \), \( 15 \times 5 = 75 \) (não serve). Para \( C = 6 \), \( 16 \times 6 = 96 \) (não serve). Para \( C = 7 \), \( 17 \times 7 = 119 \) (não serve). Para \( C = 8 \), \( 18 \times 8 = 144 \) (não serve). Para \( C = 9 \), \( 19 \times 9 = 171 \) (não serve). 2. Se \( A = 2 \): \[ (10 \times 2 + B) \times C = 222 \] Para \( C = 1 \), \( 21 \times 1 = 21 \) (não serve). Para \( C = 2 \), \( 22 \times 2 = 44 \) (não serve). Para \( C = 3 \), \( 23 \times 3 = 69 \) (não serve). Para \( C = 4 \), \( 24 \times 4 = 96 \) (não serve). Para \( C = 5 \), \( 25 \times 5 = 125 \) (não serve). Para \( C = 6 \), \( 26 \times 6 = 156 \) (não serve). Para \( C = 7 \), \( 27 \times 7 = 189 \) (não serve). Para \( C = 8 \), \( 28 \times 8 = 224 \) (não serve). Para \( C = 9 \), \( 29 \times 9 = 261 \) (não serve). 3. Se \( A = 3 \): \[ (10 \times 3 + B) \times C = 333 \] Para \( C = 1 \), \( 31 \times 1 = 31 \) (não serve). Para \( C = 2 \), \( 32 \times 2 = 64 \) (não serve). Para \( C = 3 \), \( 33 \times 3 = 99 \) (não serve). Para \( C = 4 \), \( 34 \times 4 = 136 \) (não serve). Para \( C = 5 \), \( 35 \times 5 = 175 \) (não serve). Para \( C = 6 \), \( 36 \times 6 = 216 \) (não serve). Para \( C = 7 \), \( 37 \times 7 = 259 \) (não serve). Para \( C = 8 \), \( 38 \times 8 = 304 \) (não serve). Para \( C = 9 \), \( 39 \times 9 = 351 \) (não serve). Continuando esse processo, você encontrará que a combinação correta que satisfaz a condição de \( A, B \) e \( C \) ser diferentes e distintos é: \( A = 3, B = 7, C = 1 \) que resulta em \( 37 \times 3 = 111 \). Portanto, a resposta correta é \( A = 3, B = 7, C = 1 \).