obmep_250603_032905

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Soluções das Questões da OBMEP
Olá! Seguem as resoluções detalhadas das quatro questões da prova da OBMEP que
você enviou.
Questão 1
A questão apresenta uma conta de multiplicação onde A, B e C são algarismos diferentes
de zero e distintos entre si:
A B x C
A A A
O resultado da multiplicação é um número de três algarismos iguais, que pode ser
escrito como AAA. Esse número é igual a A * 111. Como 111 = 3 * 37, temos que AAA = A *
3 * 37.
A conta representa a equação (10A + B) * C = AAA = A * 3 * 37.
Como A, B e C são algarismos de 1 a 9 e distintos, e 37 é um número primo, podemos
analisar as possibilidades para C e a expressão (10A + B).
Uma possibilidade é que (10A + B) seja igual a 37. Se A=1, B=27 (impossível). Se A=2,
B=17 (impossível). Se A=3, B=7. Neste caso, A=3 e B=7 são algarismos válidos e diferentes
de zero. Substituindo na equação original: (10*3 + 7) * C = 3 * 3 * 37 37 * C = 333 C = 333 /
37 C = 9
Verificamos se a solução A=3, B=7, C=9 satisfaz as condições: são algarismos (sim), são
diferentes de zero (sim), são distintos entre si (sim, 3, 7 e 9 são diferentes). A conta fica:
37 * 9 = 333. Correto.
O valor de A + B + C é 3 + 7 + 9 = 19.
Portanto, a resposta correta é 19, correspondendo à alternativa (B).
Questão 2
Darlene colou 36 adesivos (Pequenos, Médios, Grandes) em um quadriculado 6x6. O
papel foi dobrado duas vezes, resultando em um quadrado 3x3 visível, onde cada
posição visível é o topo de uma pilha de 4 adesivos originais sobrepostos.
A figura mostra a composição da camada superior (visível) das 9 pilhas: - 3 adesivos
Grandes (G) - 4 adesivos Médios (M) - 2 adesivos Pequenos (P) Total visível = 3G + 4M + 2P
= 9 adesivos.
O número total de adesivos é 36 (9 pilhas * 4 adesivos/pilha). Os 36 adesivos se
distribuem entre os tamanhos P, M, G, tal que P + M + G = 36.
Queremos encontrar o maior número possível de adesivos de tamanho Médio (M) que
Darlene pode ter colado. O número total de Médios (M) é a soma dos Médios visíveis
(M_visivel) e os Médios não visíveis (M_nao_visivel). Sabemos que M_visivel = 4 (os que
aparecem na figura, no topo das pilhas).
Os adesivos não visíveis são aqueles que estão nas camadas inferiores das 9 pilhas. Há 3
camadas inferiores em cada uma das 9 pilhas, totalizando 9 * 3 = 27 posições não
visíveis. Para maximizar o número total de Médios (M), devemos maximizar o número de
Médios não visíveis (M_nao_visivel). Podemos assumir que todos os 27 adesivos nas
posições não visíveis são do tamanho Médio. Nesse caso, M_nao_visivel = 27.
O número máximo total de Médios seria M_max = M_visivel + M_nao_visivel = 4 + 27 = 31.
Verificamos se essa configuração é consistente com o total de 36 adesivos: Se M = 31,
então G_visivel = 3 e P_visivel = 2. Para maximizar M, assumimos G_nao_visivel = 0 e
P_nao_visivel = 0. Assim, G_total = 3 + 0 = 3 e P_total = 2 + 0 = 2. O total de adesivos seria
M + G + P = 31 + 3 + 2 = 36. Isso é consistente com as informações do problema.
Portanto, o maior número de adesivos de tamanho médio que Darlene pode ter colado é
31.
Observação: As alternativas fornecidas são (A) 3, (B) 8, (C) 30, (D) 16, (E) 21. Nenhuma
delas é 31. A alternativa mais próxima é (C) 30, que também aparece marcada na
imagem que você enviou. Pode haver algum detalhe não considerado ou um erro na
formulação da questão/alternativas na prova original. Baseado estritamente na
interpretação do enunciado, a resposta é 31. Se for forçado a escolher uma das opções,
30 seria a mais plausível, mas a justificativa matemática leva a 31.
Questão 3
A questão pede para encontrar um inteiro positivo k tal que, subtraindo k do numerador
e do denominador da fração 2026/2025, o resultado seja igual a 2025/2026.
A equação é: (2026 - k) / (2025 - k) = 2025 / 2026
Multiplicamos em cruz: 2026 * (2026 - k) = 2025 * (2025 - k) 2026² - 2026k = 2025² - 2025k
Rearranjamos a equação para isolar k: 2026k - 2025k = 2026² - 2025² (2026 - 2025)k =
(2026 - 2025)(2026 + 2025) 1 * k = 1 * (4051) k = 4051
O valor de k é 4051. A questão pede a soma dos algarismos de k. Soma dos algarismos
de k = 4 + 0 + 5 + 1 = 10.
Portanto, a resposta correta é 10, correspondendo à alternativa (C).
Questão 4
Marcela distribui os números de 1 a 8 nos 8 círculos da figura. A regra é que números em
círculos conectados por um segmento não podem ser consecutivos (ex: se um círculo
tem 3, seus vizinhos não podem ter 2 ou 4). Os círculos destacados em cinza são o
superior externo (vamos chamá-lo C1) e o inferior externo (C4).
O problema envolve encontrar uma coloração válida do grafo (atribuição de números
aos círculos) que satisfaça a condição e determinar os números em C1 e C4.
Após análise e teste de possibilidades, verifica-se que existem múltiplas distribuições
válidas dos números que satisfazem a condição. Encontrei pelo menos três soluções
distintas para os números nos círculos C1 e C4:
Solução 1: C1=7, C4=2. (Corresponde à alternativa B) Uma distribuição completa:
C1=7, C2=4, C3=6, C4=2, C5=5, C6=3, C7=1, C8=8.
Solução 2: C1=6, C4=3. (Corresponde à alternativa E) Uma distribuição completa:
C1=6, C2=4, C3=7, C4=3, C5=5, C6=2, C7=8, C8=1.
Solução 3: C1=1, C4=8. (Corresponde à alternativa C) Uma distribuição completa:
C1=1, C2=3, C3=5, C4=8, C5=6, C6=4, C7=7, C8=2.
Todas essas três soluções são válidas de acordo com as regras fornecidas. A existência
de múltiplas respostas válidas para uma questão de múltipla escolha é incomum.
1. 
2. 
3. 
Observação: A imagem que você enviou tem a alternativa (E) 3 e 6 marcada.
Considerando essa marcação como uma indicação da resposta esperada, os números
nos círculos cinza seriam 3 e 6.
Espero que estas resoluções detalhadas sejam úteis! Se tiver mais alguma dúvida, pode
perguntar.