Determinar a área limitada pelas curvas y = 5x - x^2 e y = 2x .

Para determinar a área limitada pelas curvas \( y = 5x - x^2 \) e \( y = 2x \), siga os passos abaixo: 1. Encontrar os pontos de interseção: Igualamos as duas funções: \[ 5x - x^2 = 2x \] Simplificando, temos: \[ -x^2 + 3x = 0 \] Fatorando: \[ x(-x + 3) = 0 \] Portanto, os pontos de interseção são \( x = 0 \) e \( x = 3 \). 2. Calcular a área entre as curvas: A área \( A \) é dada pela integral da diferença das funções entre os limites de integração: \[ A = \int_{0}^{3} ((5x - x^2) - (2x)) \, dx \] Simplificando a expressão dentro da integral: \[ A = \int_{0}^{3} (3x - x^2) \, dx \] 3. Calcular a integral: \[ A = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} \] Avaliando nos limites: \[ A = \left( \frac{3(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} \right) - \left( \frac{3(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} \right) \] \[ A = \left( \frac{27}{2} - 9 \right) = \frac{27}{2} - \frac{18}{2} = \frac{9}{2} \] Portanto, a área limitada pelas curvas \( y = 5x - x^2 \) e \( y = 2x \) é \( \frac{9}{2} \) unidades quadradas.