Determinar a área limitada pelo eixo y e pela curva x = 4 - y^2 .

Para determinar a área limitada pelo eixo y e pela curva \( x = 4 - y^2 \), siga os passos abaixo: 1. Identifique a curva: A equação \( x = 4 - y^2 \) representa uma parábola que se abre para a esquerda. 2. Encontre os pontos de interseção com o eixo y: Para isso, substitua \( x = 0 \): \[ 0 = 4 - y^2 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2 \] Portanto, os pontos de interseção são \( (0, 2) \) e \( (0, -2) \). 3. Determine a área: A área \( A \) pode ser calculada pela integral da função em relação a \( y \) entre os limites de \( -2 \) a \( 2 \): \[ A = \int_{-2}^{2} (4 - y^2) \, dy \] 4. Calcule a integral: \[ A = \int_{-2}^{2} 4 \, dy - \int_{-2}^{2} y^2 \, dy \] \[ A = 4[y]_{-2}^{2} - \left[\frac{y^3}{3}\right]_{-2}^{2} \] \[ A = 4(2 - (-2)) - \left(\frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3}\right) \] \[ A = 4(4) - \left(\frac{8}{3} - \frac{-8}{3}\right) \] \[ A = 16 - \left(\frac{8 + 8}{3}\right) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \] 5. Resultado: A área limitada pela curva e pelo eixo y é \( \frac{32}{3} \) unidades quadradas.