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Vimos que a técnica das variáveis separáveis é utilizada para resolver um tipo particular das equações diferenciais ordinárias não lineares. Baseado nesta técnica assinale a alternativa correta que corresponde a solução da EDO y=1+e^{2 x} y^{\prime}=1+e^{2 x} :
a. y=e^{2 x}+C
b. y=12 e^{2 x}+C
c. y=x+C
d. y=x+12 e^{2 x}+C
e. y=x+e^{x}(2 x)+C
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Para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada, \( y' = 1 + e^{2x} \), podemos usar a técnica das variáveis separáveis. Primeiro, reescrevemos a equação: \[ \frac{dy}{dx} = 1 + e^{2x} \] Agora, integramos ambos os lados em relação a \( x \): \[ y = \int (1 + e^{2x}) \, dx \] A integral de \( 1 \) é \( x \) e a integral de \( e^{2x} \) é \( \frac{1}{2} e^{2x} \). Portanto, temos: \[ y = x + \frac{1}{2} e^{2x} + C \] Agora, analisando as alternativas: a. \( y = e^{2x} + C \) - Incorreto. b. \( y = \frac{1}{2} e^{2x} + C \) - Incorreto. c. \( y = x + C \) - Incorreto. d. \( y = x + \frac{1}{2} e^{2x} + C \) - Correto. e. \( y = x + e^{x}(2x) + C \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: d. \( y = x + \frac{1}{2} e^{2x} + C \).

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A solução da equação: dydx =
senx, é igual a:
a. y=
cos x+C
b. y=
operatorname{senx}+
cos x+C
c. y=
operatorname{senx}+C
d. y=-
operatorname{senx}+C
e. y=-
cos x+C

A solução geral da EDO y^{\prime}=-x y representa uma família de círculos concêntricos, isto é, x_{2}+y_{2}=C_{2}. A solução que passa pelo ponto (4,3) é:
a. x_{2}+y_{2}=25
b. x_{2}+y_{2}=3
c. x_{2}+y_{2}=5
d. x_{2}+y_{2}=16
e. x_{2}+y_{2}=4

Dado o problema de valor inicial
(y+2 y=e^{-4 t} y(0)=32,

é correto afirmar que a solução é dada por:
a. y(t)=-e^{-4 t 2}+C
b. y(t)=-e^{-t 2}+2 e t
c. y(t)=-2 e^{-2 t}
d. y(t)=-e^{-4 t 2}
e. y(t)=-e^{-4 t 2}+2 e^{-2 t}

A solução geral da EDO 2 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}-3 y=0 é igual a:
a. y=c 1 e^{-x}+c 2 e^{3 x}
b. y=c 1 e^{x 2}+c 2 e^{x}
c. y=c 1 e^{5 x}+c 2 e^{3 x}
d. y=c 1 e^{-x 2}+c 2 e^{3 x}
e. y=e^{-x 2}-e^{x}

Assinale a alternativa que corresponde a solução do problema de valor inicial:
{y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0 y(0)=-1 y^{\prime}(0)=2
a. y=e^{2 x}(43
operatorname{sen} 3 x)
b. y=-
cos 3 x+43
sen 3 x
c. y=e^{2 x}(-
cos 3 x+43
sen 3 x)
d. y=e^{2 x}(
cos 3 x-43
sen 3 x)
e. y=e^{2 x}(-
cos 3 x)

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