Para resolver o problema de valor inicial dado, precisamos encontrar a solução da equação diferencial \(y^{\prime \prime} - 4y^{\prime} + 13y = 0\) com as condições iniciais \(y(0) = -1\) e \(y^{\prime}(0) = 2\). Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. A equação característica associada é: \[ r^2 - 4r + 13 = 0 \] Resolvendo essa equação, encontramos as raízes: \[ r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = 2 \pm 3i \] Assim, a solução geral da equação diferencial é: \[ y(x) = e^{2x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) \] Agora, aplicamos as condições iniciais. Para \(y(0) = -1\): \[ y(0) = e^{0}(C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0)) = C_1 = -1 \] Agora, precisamos calcular \(y^{\prime}(x)\) e aplicar a segunda condição inicial \(y^{\prime}(0) = 2\). A derivada é: \[ y^{\prime}(x) = e^{2x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x))' + 2e^{2x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) \] Calculando a derivada e substituindo \(C_1 = -1\) e \(C_2\) para encontrar o valor correto. Após resolver, encontramos que a solução que atende às condições iniciais é: c) \(y = e^{2x}(-\cos(3x) + 43 \sin(3x))\) Portanto, a alternativa correta é a c.