Para determinar as equações paramétricas da reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas \( x = 2\cos(t) \), \( y = 2\sin(t) \), e \( z = 4\cos(2t) \) no ponto especificado \( (\sqrt{3}, 1, 2) \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o valor de \( t \) que corresponde ao ponto dado. Para isso, vamos resolver as equações: - \( x = 2\cos(t) \) implica que \( \cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) → \( t = \frac{\pi}{6} \) ou \( t = \frac{11\pi}{6} \). - \( y = 2\sin(t) \) implica que \( \sin(t) = \frac{1}{2} \) → \( t = \frac{\pi}{6} \) ou \( t = \frac{5\pi}{6} \). - O valor que satisfaz ambas as equações é \( t = \frac{\pi}{6} \). 2. Calcular as derivadas das funções paramétricas para encontrar o vetor tangente: - \( \frac{dx}{dt} = -2\sin(t) \) - \( \frac{dy}{dt} = 2\cos(t) \) - \( \frac{dz}{dt} = -8\sin(2t) \) 3. Avaliar as derivadas em \( t = \frac{\pi}{6} \): - \( \frac{dx}{dt} \bigg|_{t=\frac{\pi}{6}} = -2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 \) - \( \frac{dy}{dt} \bigg|_{t=\frac{\pi}{6}} = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \) - \( \frac{dz}{dt} \bigg|_{t=\frac{\pi}{6}} = -8\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -4\sqrt{3} \) 4. Formar a equação da reta tangente usando o ponto \( (\sqrt{3}, 1, 2) \) e o vetor tangente \( (-1, \sqrt{3}, -4\sqrt{3}) \): - As equações paramétricas da reta tangente são: \[ x = \sqrt{3} - t \] \[ y = 1 + \sqrt{3}t \] \[ z = 2 - 4\sqrt{3}t \] Portanto, as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto especificado são: \[ x = \sqrt{3} - t, \quad y = 1 + \sqrt{3}t, \quad z = 2 - 4\sqrt{3}t. \]