Grátis: Um conjunto é dito compacto se toda sequência contida em \(X\) possui uma sub-sequência que converge para algum ponto de \(X\). Informalmente falan... – Questões Respondidas

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Um conjunto é dito compacto se toda sequência contida em \(X\) possui uma sub-sequência que converge para algum ponto de \(X\). Informalmente falando, conjunto compacto é aquele que está condensado em algum lugar, e que podemos cobrir com quantidades finitas de outros conjuntos. Baseado nos conjuntos compactos, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Todo conjunto fechado e limitado é compacto.
( ) Para mostrar que um determinado conjunto é compacto precisamos provar que para toda cobertura aberta existe subcobertura finita.
( ) O conjunto \((0,1)\) é compacto.
( ) O conjunto \([0,1]\) é compacto.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
B \(\mathrm{V}-\mathrm{V}-\mathrm{F}-\mathrm{V}\)
C F - V - V - V.
D V - V - F - F.

Matematicamente

há 10 meses

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há 10 meses

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Respostas

Ed

há 10 meses

Vamos analisar cada uma das afirmações sobre conjuntos compactos: ( ) Todo conjunto fechado e limitado é compacto. É verdadeira (V). No contexto da análise real, o Teorema de Heine-Borel afirma que um conjunto é compacto se e somente se ele é fechado e limitado. ( ) Para mostrar que um determinado conjunto é compacto precisamos provar que para toda cobertura aberta existe subcobertura finita. É verdadeira (V). Essa é uma das definições de compactude em topologia, conhecida como a definição de cobertura. ( ) O conjunto \((0,1)\) é compacto. É falsa (F). O intervalo aberto \((0,1)\) não é compacto, pois não é fechado. Um exemplo é a sequência \(1/n\) que está contida em \((0,1)\) e não possui uma sub-sequência que converge para um ponto dentro de \((0,1)\). ( ) O conjunto \([0,1]\) é compacto. É verdadeira (V). O intervalo fechado \([0,1]\) é um exemplo clássico de um conjunto compacto, pois é fechado e limitado. Portanto, a sequência correta é: V - V - F - V. A alternativa que apresenta essa sequência é a B: V - V - F - V.

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Craque Neto

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Muitas vezes, para utilizarmos a demonstração por indução, é necessário primeiramente concluir o termo geral da sequência ou série que se está trabalhando. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o termo geral da série gerada pela soma dos números naturais ímpares:
A \(\mathrm{n}(\mathrm{n}+2) / 2\)
B \(\mathrm{n}^{2}\)
C \(\left(\mathrm{n}^{2}+\mathrm{n}\right) / 2 \mathrm{n}\)
D \(\mathrm{n}(\mathrm{n}^{2}+2) / 2 \mathrm{n}\)

Um corpo em matemática é um conjunto de elementos os quais podemos realizar operações cujos resultados possuem algumas propriedades. Esta definição é fundamental para a demonstração de diversas outras propriedades numéricas. As operações que são definidas pelo conceito de corpo, são a adição e a multiplicação. A partir das propriedades da multiplicação a serem provadas para definir um corpo, assinale a alternativa CORRETA:
a) Existência de elemento com critério de divisibilidade.
b) Existência de elemento oposto.
c) Princípio da Indução.
d) Associatividade.

Georg Cantor, matemático russo, denominou de conjuntos enumeráveis aqueles conjuntos em que é possível contar e numerar os seus elementos. Assim, é enumerável todo conjunto equipotente ao conjunto dos naturais. Em outras palavras, podemos dizer que um conjunto X é enumerável se:
a) For finito e possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
b) For infinito e possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
c) For finito ou possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
d) For infinito ou possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.

Existe uma técnica de demonstração muito parecida com a demonstração por absurdo, chamada de contrapositiva. Ela consiste em negar a tese e concluir a negação da hipótese. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a contrapositiva da seguinte sentença: Se Paulo come pouco, então Paulo é magro.
a) Se Paulo é gordo, então Paulo come muito.
b) Paulo não come pouco, e nem é magro.
c) Paulo é magro e, portanto, come pouco.
d) Paulo é gordo e come muito.

Tome a sequência \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) cujo \(\lim_{n \to \infty} x_{n}=a\). Observe as afirmações abaixo e verifique quais são verdadeiras.

The image contains the following mathematical statements:
I - \(\lim_{h \to \infty} (\lim x_{n})(\lim x_{n}) = a^{2}\)
II - \(\lim_{h \to \infty} (\lim x_{n}) - (\lim x_{n}) = 0\)
III - \(\lim_{h \to \infty} (\lim x_{n}) + (\lim x_{n}) = 2\)
IV - \(\lim_{h \to \infty} (\lim x_{n}) = (\lim x_{n}) = 0\)

Leia e responda a seguinte questão
A As opções I, II e III são verdadeiras.
B As opções I, III e IV são verdadeiras.
C As opções I e II são verdadeiras.
D As opções III e IV são verdadeiras.

Os números reais respeitam as propriedades de corpo ordenado e consigo trazem algumas propriedades importantes. Uma delas é a de que dados dois elementos \(a\) e \(b\), temos \(a.b = b.a\). O nome dado a esta propriedade é:
A Comutatividade.
B Associatividade.
C Tricotomia.
D Monotonicidade.