Grátis: Qual é a série de Fourier da função real de variável real \(f\), periódica de período \(T=2\), definida por \(f(t)=\left\{\begin{array}{lll}t+1 & \... – Questões Respondidas

Química

Colégio Objetivo

Qual é a série de Fourier da função real de variável real \(f\), periódica de período \(T=2\), definida por \(f(t)=\left\{\begin{array}{lll}t+1 & \text { se } & -1 \leq t \leq 0 \\ t-1 & \text { se } & 0 \leq t \leq 1\end{array}\right.\).
(A) \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\operatorname{sen}(n \pi t)}{n}\)
(B) \(-\frac{2}{\pi} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\operatorname{sen}((2 n+1) \pi t)}{2 n+1}\)
(C) \(\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\operatorname{sen}(2 n \pi t)}{2 n}\)
(D) \(\frac{-2}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\operatorname{sen}(n \pi t)}{n}\)
(E) \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\operatorname{sen}((2 n+1) \pi t)}{(2 n+1)^{2}}\)

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há 5 meses

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Análise de Fenômenos Químicos e Físicos

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Respostas

Ed

há 5 meses

Para determinar a série de Fourier da função \(f(t)\) dada, precisamos analisar a função em seus intervalos e calcular os coeficientes da série de Fourier. A função \(f(t)\) é definida como: - \(f(t) = t + 1\) para \(-1 \leq t < 0\) - \(f(t) = t - 1\) para \(0 \leq t < 1\) A função é ímpar, o que significa que a série de Fourier terá apenas termos senoidais (não haverá termos cosenoidais). Os coeficientes da série de Fourier para funções ímpares são dados por: \[ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right) dt \] Neste caso, \(T = 2\), então a fórmula se simplifica para: \[ b_n = \int_{0}^{2} f(t) \sin(n \pi t) dt \] Ao calcular os coeficientes \(b_n\) para a função dada, você encontrará que a série de Fourier se expressa como uma soma de senos. Após realizar os cálculos, a série de Fourier que corresponde à função \(f(t)\) é: \[ -\frac{2}{\pi} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\operatorname{sen}((2 n+1) \pi t)}{2 n+1} \] Portanto, a alternativa correta é: (B) \(-\frac{2}{\pi} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\operatorname{sen}((2 n+1) \pi t)}{2 n+1}\).

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Considerando $T: \mathfrak{R}^{3} \rightarrow \mathfrak{R}^{2}$ uma transformação linear, tal que $T(1,0,0)=(2,0) ; \quad T(0,1,0)=(1,1) \quad$ e $\quad T(0,0,1)=(0,-1)$, pode-se afirmar que o vetor $v \in \mathfrak{R}^{3}$, tal que $T(v)=(3,2)$, é igual a:
(A) $(x, 3-2 x, 1-2 x)$
(B) $(x, x, 1+x)$
(C) $(x, 3+2 x, 5+2 x)$
(D) $(x, x+3,1-x)$
(E) $(x, x-3,1-2 x)$

Considere o sistema linear $\left\{\begin{array}{l}x+y+a z=1 \\ x+2 y+z=2 \\ 2 x+5 y-3 z=b\end{array}\right.$ com $x, y, z, a, b \in \mathfrak{N}$.

Os valores de $a$ e $b$ que tornam o sistema indeterminado são:
(A) $a \neq 6$ e $b=-5$
(B) $a \neq 6$ e $b \neq 5$
(C) $a=6$ e $b \neq 5$
(D) $a=6$ e $b=5$
(E) $a \neq 6$ e $b=5$

Se $G$ é a região do $\mathfrak{R}^{3}$ limitada superiormente pelo parabolóide $z=2-x^{2}-y^{2}$ e inferiormente pela semiesfera $z=1-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$, então o volume de $G$, em coordenadas cilíndricas, é calculado por:
(A) $\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} \int_{1-\sqrt{1-r^{2}}}^{2-r^{2}} r d z d r d \theta$
(B) $\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{1-\sqrt{1-r^{2}}}^{1+\sqrt{1-r^{2}}} r d z d r d \theta$
(C) $\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} \int_{1+\sqrt{1-r^{2}}}^{2-x^{2}} r d z d r d \theta$
(D) $\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} \int_{\sqrt{1-r^{2}}}^{1-r^{2}} r d z d r d \theta$
(E) $\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{\sqrt{1-r^{2}}}^{1-r^{2}} r d z d r d \theta$

Supondo que um sistema de coordenadas $x y$ seja transladado de modo a se obter um novo sistema de coordenadas $x^{\prime} y^{\prime}$, cuja origem $O^{\prime}$ tenha coordenadas $(x, y)=(2,-3)$, quais são as coordenadas $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ do ponto $P$ cujas coordenadas $(x, y)$ são $(7,5)$ ?
(A) $(5,2)$
(B) $(2,5)$
(C) $(5,8)$
(D) $(8,5)$
(E) $(7,2)$

Sabendo que $3 y=2 x-1$ é a equação da reta normal ao gráfico de uma função $y=f(x)$ diferenciável, real de variável real, no ponto $(2, f(2))$, pode-se afirmar que $f^{\prime}(2)$ é igual a:
(A) $\frac{-3}{2}$
(B) 2
(C) $\frac{2}{3}$
(D) -2
(E) $\frac{-2}{3}$

A transformada de Laplace da função real $f$, de variável real $t>0, f(t)=t \operatorname{sen} 3 t$, é:
(A) $\frac{6 s}{\left(s^{2}+9\right)^{2}}$
(B) $\frac{1}{\left(s^{2}+9\right)}$
(C) $\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg} \frac{s}{3}$
(D) $\frac{\operatorname{arctg} 3 s}{3}$
(E) $\frac{3}{s^{2}\left(s^{2}+9\right)}$

Um tanque cilíndrico reto que possui 5 m de raio e 16 m de altura está inicialmente cheio d'água. Supondo que a água está sendo bombeada para fora do tanque a uma taxa de $0,25 \times \mathrm{m}^{3} / \mathrm{min}$, onde $x$ é a profundidade da água em cada instante $t$, quanto tempo levará para o volume de água se reduzir à metade?
(A) $100 \pi \ln 4$
(B) $\frac{10}{\pi} \ln 2$
(C) $\frac{10}{\pi} \ln 4$
(D) $100 \pi \ln 2$
(E) $10 \pi \ln 4$

Tendo em vista que $A$ e $B$ são matrizes invertíveis de ordem 2 e $\operatorname{det} M$ indica a determinante de uma matriz $M$, é INCORRETO afirmar que:
(A) $\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B A)$
(B) $\operatorname{det}(5 A)=25 \operatorname{det}(A)$
(C) $\operatorname{det}\left(B^{-1}\right)=\frac{1}{\operatorname{det} B}$
(D) $\operatorname{det}(A) \neq 0$
(E) $\operatorname{det}(3 B)=3 \operatorname{det} B$

Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas afirmativas abaixo e, a seguir, assinale a opção que apresenta a sequência correta.
( ) Dois planos que possuem 3 pontos em comum são coincidentes.
( ) Se duas retas \(r\) e \(s\) do \(\mathfrak{R}^{3}\) são perpendiculares a uma reta \(t\), então \(r\) e \(s\) são paralelas.
( ) Duas retas concorrentes no \(\mathfrak{R}^{3}\) determinam um único plano.
( ) Se dois planos A e B são perpendiculares a um outro plano C, então os planos A e B são paralelos.
( ) Se duas retas \(r\) e \(s\) em \(\mathfrak{R}^{3}\) são paralelas a um plano \(A\), então \(r\) e \(s\) são paralelas.
(A) (F) (F) (V) (F) (F)
(B) (V) (F) (V) (F) (V)
(C) (F) (V) (F) (V) (F)
(D) (V) (V) (F) (F) (V)
(E) (F) (F) (V) (V) (V)

Em relação a matrizes, coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas afirmativas abaixo, e assinale a opção que apresenta a sequência correta.
( ) Se A e B são matrizes reais simétricas, então AB também é simétrica.
( ) Se A e B são matrizes reais \(n \times n\), então \(A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)\)
( ) Se A é uma matriz real \(n \times n\), e sua transposta é uma matriz invertível, então a matriz A é invertível.
( ) Se A é uma matriz real quadrada, \(A^{2}=0\), então \(A=0\)
( ) Se A e B são matrizes reais quadradas de ordem n, então \((A B)^{t}=A^{t} B^{t}\)
(A) (V) (F) (V) (V) (V)
(B) (F) (F) (V) (F) (F)
(C) (V) (V) (F) (F) (V)
(D) (F) (F) (V) (V) (F)
(E) (F) (V) (F) (V) (V)