Produto vetorial: $\vec{a} x \vec{b}=\left(2_{j}+2_{j}+1_{k}\right) x\left(2_{j}+1 j+3_{k}\right)$

Para calcular o produto vetorial \(\vec{a} \times \vec{b}\), onde \(\vec{a} = 2\hat{j} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\) e \(\vec{b} = 2\hat{j} + 1\hat{j} + 3\hat{k}\), primeiro precisamos corrigir a representação dos vetores. Vamos simplificar os vetores: \[ \vec{a} = 0\hat{i} + (2 + 2)\hat{j} + 1\hat{k} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 1\hat{k} \] \[ \vec{b} = 0\hat{i} + (2 + 1)\hat{j} + 3\hat{k} = 0\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} \] Agora, temos: \[ \vec{a} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 1\hat{k} \] \[ \vec{b} = 0\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} \] Para calcular o produto vetorial, usamos a fórmula: \[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} \] Calculando os determinantes: 1. Para \(\hat{i}\): \[ \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = (4 \cdot 3) - (1 \cdot 3) = 12 - 3 = 9 \] 2. Para \(\hat{j}\): \[ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = (0 \cdot 3) - (1 \cdot 0) = 0 \] 3. Para \(\hat{k}\): \[ \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = (0 \cdot 3) - (4 \cdot 0) = 0 \] Portanto, temos: \[ \vec{a} \times \vec{b} = 9\hat{i} - 0\hat{j} + 0\hat{k} = 9\hat{i} \] Assim, o resultado do produto vetorial \(\vec{a} \times \vec{b}\) é: \[ \vec{a} \times \vec{b} = 9\hat{i} \]