Para mostrar que a derivada da função inversa \( f^{-1} \) em \( x = 3 \) é dada por \( \left(f^{-1}\right)^{\prime}(3) = \frac{1}{f^{\prime}(1)} \), podemos usar a fórmula da derivada da função inversa. 1. Identifique a função: Temos \( f(x) = x^3 + x \). 2. Calcule \( f'(x) \): A derivada de \( f(x) \) é: \[ f'(x) = 3x^2 + 1. \] 3. Avalie \( f'(1) \): Como sabemos que \( f^{-1}(3) = 1 \), precisamos calcular \( f'(1) \): \[ f'(1) = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4. \] 4. Use a fórmula da derivada da função inversa: A fórmula é: \[ \left(f^{-1}\right)^{\prime}(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}. \] Para \( y = 3 \): \[ \left(f^{-1}\right)^{\prime}(3) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}. \] Portanto, a derivada da função inversa em \( x = 3 \) é: \[ \left(f^{-1}\right)^{\prime}(3) = \frac{1}{f^{\prime}(1)} = \frac{1}{4}. \]