Para encontrar a direção em que a função \( f(x,y) = x^3 - 2xy \) cresce mais rapidamente a partir do ponto \( (1,-1) \), precisamos calcular o gradiente da função, que é dado por \( \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \). Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais: 1. \( \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 2y \) 2. \( \frac{\partial f}{\partial y} = -2x \) Agora, substituímos o ponto \( (1, -1) \): 1. \( \frac{\partial f}{\partial x} \bigg|_{(1,-1)} = 3(1)^2 - 2(-1) = 3 + 2 = 5 \) 2. \( \frac{\partial f}{\partial y} \bigg|_{(1,-1)} = -2(1) = -2 \) Portanto, o gradiente em \( (1, -1) \) é: \[ \nabla f(1, -1) = (5, -2) \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \nabla f(1, -1) = (1, -2) \) - Incorreto. b) \( \nabla f(1, -1) = (5, -2) \) - Correto. c) \( f(1, -1) = 3 \) - Não é a resposta que procuramos. d) \( \nabla f(1, -1) = (1, 2) \) - Incorreto. e) \( \nabla f = (3x^2 - 2y, -2x) \) - Esta é a forma geral do gradiente, mas não é a resposta específica que buscamos. Portanto, a alternativa correta é: b) \( \nabla f(1, -1) = (5, -2) \).