Para encontrar a direção em que a função \( f(x,y) = x^3 - 2xy \) cresce mais rapidamente a partir do ponto \( (1,-1) \), precisamos calcular o gradiente da função, que é dado por \( \nabla f \). Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais: 1. A derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 2y \] 2. A derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = -2x \] Agora, avaliamos essas derivadas no ponto \( (1, -1) \): 1. Para \( \frac{\partial f}{\partial x} \) em \( (1, -1) \): \[ \frac{\partial f}{\partial x}(1, -1) = 3(1)^2 - 2(-1) = 3 + 2 = 5 \] 2. Para \( \frac{\partial f}{\partial y} \) em \( (1, -1) \): \[ \frac{\partial f}{\partial y}(1, -1) = -2(1) = -2 \] Portanto, o gradiente \( \nabla f(1, -1) \) é: \[ \nabla f(1, -1) = (5, -2) \] Agora, analisando as alternativas: a. \( \nabla f(1, -1) = (1, -2) \) - Incorreto. b. \( f(1, -1) = 3 \) - Não é a resposta que procuramos. c. \( \nabla f(1, -1) = (5, -2) \) - Correto. d. \( \nabla f = (3x^2 - 2y, -2x) \) - Esta é a forma geral do gradiente, mas não é a resposta específica que buscamos. e. \( \nabla f(1, -1) = (1, 2) \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: c. \( \nabla f(1, -1) = (5, -2) \).