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Com base nas proposições acerca dos estimadores dos parâmetros de regressão ( $\beta$ 's) para um modelo de regressão múltipla, é correto afirmar que:
I. Os estimadores de mínimos quadrados ordinários para os parâmetros $\beta$ 's são considerados estimadores eficientes quando comparados aos estimadores de máxima verossimilhança, por apresentarem variância mínima.
II. Um coeficiente de determinação $R^{2}=1$ significa a presença de uma combinação linear perfeita entre a variável dependente $Y$ e as variáveis independentes X's. (na verdade não é combinação linear perfeita, é ajustamento perfeito, ou seja, o modelo explica perfeitamente as variações em Y)
III. Sob a hipótese de normalidade, os estimadores de máxima verossimilhança e de mínimos quadrados ordinários para os parâmetros $\beta$ 's de um modelo de regressão múltipla são distintos. Contudo, os estimadores da variância de ui são eficientes assintoticamente. (são iguais)
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas a alternativa I está correta.
b) Apenas a alternativa II está correta.
c) Apenas a alternativa III está correta.
d) As alternativas I e II estão corretas.
e) As alternativas II e III estão corretas.
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Vamos analisar cada proposição: I. Os estimadores de mínimos quadrados ordinários para os parâmetros \(\beta\) 's são considerados estimadores eficientes quando comparados aos estimadores de máxima verossimilhança, por apresentarem variância mínima. Falso. Os estimadores de mínimos quadrados ordinários (MQO) são eficientes sob certas condições, mas não necessariamente são mais eficientes que os estimadores de máxima verossimilhança em todos os casos. II. Um coeficiente de determinação \(R^{2}=1\) significa a presença de uma combinação linear perfeita entre a variável dependente \(Y\) e as variáveis independentes \(X\)'s. Verdadeiro. Um \(R^{2}=1\) indica que o modelo explica perfeitamente as variações em \(Y\), o que é um ajuste perfeito. III. Sob a hipótese de normalidade, os estimadores de máxima verossimilhança e de mínimos quadrados ordinários para os parâmetros \(\beta\) 's de um modelo de regressão múltipla são distintos. Contudo, os estimadores da variância de \(u_i\) são eficientes assintoticamente. Falso. Sob a hipótese de normalidade, os estimadores de MQO e de máxima verossimilhança são, na verdade, iguais. Agora, vamos resumir os resultados: - A proposição I é falsa. - A proposição II é verdadeira. - A proposição III é falsa. Portanto, a alternativa correta que contém todos os itens verdadeiros é: b) Apenas a alternativa II está correta.

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