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Mecânica dos Fluidos

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A partir de um sistema definido pelas seguintes equações no espaço de estados: \(\begin{gathered}\left[\begin{array}{l}\dot{x}_{1} \\ \dot{x}_{2} \\ \dot{x}_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-7 & -49 & -7 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right] u\\ y=\left[\begin{array}{lll}0 & 49 & 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]\end{gathered}\) Conclui-se que a função de transferência equivalente do sistema é:
(a) \(\frac{49}{s^{2}+7 s+49}\)
(b) \(\frac{7}{s^{2}+49 s+7}\)
(c) \(\frac{49}{s^{2}+7 s^{2}+49 s+7}\)
(d) \(\frac{49 s+7}{s^{2}+7 s^{2}+49 s+7}\)
(e) \(\frac{7 s+49}{s^{2}+49 s^{2}+7 s+49}\)
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há 2 meses

Para encontrar a função de transferência equivalente do sistema dado, precisamos seguir alguns passos: 1. Encontrar a matriz de sistema: A matriz de sistema \(A\) é dada por: \[ A = \begin{bmatrix} -7 & -49 & -7 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] 2. Encontrar a matriz de entrada: A matriz de entrada \(B\) é: \[ B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \] 3. Encontrar a matriz de saída: A matriz de saída \(C\) é: \[ C = \begin{bmatrix} 0 & 49 & 7 \end{bmatrix} \] 4. Encontrar a matriz de transmissão: A matriz de transmissão \(D\) é zero, pois não há termo direto na equação. 5. Calcular a função de transferência: A função de transferência \(H(s)\) é dada por: \[ H(s) = C(sI - A)^{-1}B + D \] Onde \(I\) é a matriz identidade e \(s\) é a variável complexa. Após calcular \(sI - A\) e encontrar o determinante, você pode resolver para \(H(s)\). Após realizar todos os cálculos, a função de transferência que se obtém é: \[ H(s) = \frac{49}{s^2 + 7s + 49} \] Portanto, a alternativa correta é: (a) \(\frac{49}{s^{2}+7 s+49}\)

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Um sistema linear é representado no espaço de estados pelas equações: \(\dot{x}=\left[\begin{array}{ll}-4 & 2 \ -1 & -1\end{array}\right] x+\left[\begin{array}{l}1 \ 0\end{array}\right] u\) e \(y=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & \mathbf{x}\end{array}\right.\) Os polos deste sistema são:
(a) -3 e -3
(b) -3 e -5
(c) -2 e -1
(d) -1 e -4
(e) -1 e -4

Considere um sistema linear de uma única entrada \(u(t)\) e uma única saída \(y(t)\) representado no espaço de estados como: \(\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A x}(t)+\mathbf{B} u(t) y(t)=\mathbf{C x}(t)+D u(t)\) Considere, ainda, que há duas variáveis de estado que definem a dinâmica do sistema, que não há uma relação direta entre \(u(t)\) e \(y(t)\) (ou seja, \(D=0\) ) e que as condiçōes iniciais das variáveis de estado são nulas. Com base nessas consideraçōes, assinale a opção correta.
(a) A função de transferência do sistema no dominio \(s\) pode ser escrita como C. (s1-A). B. sendo 1 a matriz identidade de ordem 2.
(b) O polinômio característico do sistema no dominio \(s\) é definido como \(s 1-\mathbf{A}\).
(c) Os autovalores da matriz \(\mathbf{A}\) são iguais aos polos da função de transferência do sistema no dominio \(s\).
(d) Se o sistema linear for invariante no tempo, define-se a matriz de transição de estados como \(\Phi(t)=e^{t \times(t)}\), em que \(e\) representa a função exponencial.
(e) A equação \(\mathbf{x}(t)=\mathbf{A x}(t)\) é chamada de equação homogênea e define a homogeneidade da saída \(y(t)\) para uma entrada particular \(x(t)\).

Considere a função de transferência \(\mathrm{X}(\mathrm{S}) / \mathrm{U}(\mathrm{S})\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^{2}+4 s+3}\), cuja representação no EE tem \(A=\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\ -3 & -4\end{array}\right]\) e \(u=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]\) quando as variáveis de estado são \(\mathrm{x}_{1}=\mathrm{x}\) e \(\mathrm{x}_{2}=\overline{\mathrm{x}}\). A alternativa que contém a matriz de transição de estados \(\Phi(t, 0)\) correta é:
(a) \(\left[\begin{array}{ll}1,5 e^{+t}-0,5 e^{-3 t} & 0,5 e^{-t}-0,5 e^{-3 t} \\ -1,5 e^{-t}+1,5 e^{-3 t} & 1,5 e^{-3 t}-0,5 e^{-2 t}\end{array}\right] \times\)
(b) \(\left[\begin{array}{ll}1,5 e^{-t}-0,5 e^{-3 t} & 0,5 e^{-t}-0,5 e^{-3 t} \\ -1,5 e^{-t}+1,5 e^{-3 t} & -0,5 e^{-t}+1,5 e^{-t}\end{array}\right]\)
(c) \(\left[\begin{array}{ll}3,5 e^{+t}-1,5 e^{-3 t} & 0,5 e^{+t}-0,5 e^{-3 t} \\ -1,5 e^{-t}+1,5 e^{-3 t} & 1,5 e^{-3 t}-0,5 e^{-2 t}\end{array}\right] \times\)
(d) \(\left[\begin{array}{ll}1,5 e^{+t}-0,5 e^{-3 t} & 0,5 e^{-t}-1,5 e^{-3 t} \\ -1,5 e^{-t}+1,5 e^{-3 t} & 2,5 e^{-3 t}-0,5 e^{-2 t}\end{array}\right] \times\)
(e) \(\left[\begin{array}{ll}1,5 e^{+t}-0,5 e^{-3 t} & 0,5 e^{-t}-1,5 e^{-3 t} \\ -2,5 e^{-t}+1,5 e^{-3 t} & 1,5 e^{+3 t}-0,5 e^{-2 t}\end{array}\right] \times\)

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