Para determinar a matriz de transição de estados \(\Phi(t, 0)\) para o sistema dado, precisamos calcular a matriz exponencial \(e^{At}\), onde \(A\) é a matriz de estado fornecida: \[ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -3 & -4 \end{bmatrix} \] A matriz de transição de estados pode ser obtida através da fórmula: \[ \Phi(t, 0) = e^{At} = e^{\lambda_1 t} \cdot v_1 + e^{\lambda_2 t} \cdot v_2 \] onde \(\lambda_1\) e \(\lambda_2\) são os autovalores da matriz \(A\) e \(v_1\) e \(v_2\) são os autovetores correspondentes. Os autovalores da matriz \(A\) podem ser encontrados resolvendo o polinômio característico: \[ \text{det}(A - \lambda I) = 0 \] O polinômio característico é dado por: \[ \lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0 \] Resolvendo, obtemos os autovalores \(\lambda_1 = -1\) e \(\lambda_2 = -3\). Agora, precisamos calcular a matriz exponencial usando esses autovalores. A matriz de transição de estados \(\Phi(t, 0)\) terá a forma: \[ \Phi(t, 0) = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \] Após calcular, encontramos que a matriz de transição de estados correta é: \[ \Phi(t, 0) = \begin{bmatrix} 1,5 e^{-t} - 0,5 e^{-3t} & 0,5 e^{-t} - 0,5 e^{-3t} \\ -1,5 e^{-t} + 1,5 e^{-3t} & -0,5 e^{-t} + 1,5 e^{-3t} \end{bmatrix} \] Portanto, a alternativa correta é: (b) \(\left[\begin{array}{ll}1,5 e^{-t}-0,5 e^{-3 t} & 0,5 e^{-t}-0,5 e^{-3 t} \\ -1,5 e^{-t}+1,5 e^{-3 t} & -0,5 e^{-t}+1,5 e^{-3 t}\end{array}\right]\)