Para resolver a questão, precisamos calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial \( F(x,y,z) = 2yz \hat{j} - y \hat{i} + z^2 \hat{k} \) e, em seguida, determinar o produto entre esses dois resultados no ponto \( (1,0,2) \). 1. Cálculo da divergência: A divergência de um campo vetorial \( F = P \hat{i} + Q \hat{j} + R \hat{k} \) é dada por: \[ \nabla \cdot F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \] Para o nosso campo: - \( P = -y \) - \( Q = 2yz \) - \( R = z^2 \) Calculando as derivadas: - \( \frac{\partial P}{\partial x} = 0 \) - \( \frac{\partial Q}{\partial y} = 2z \) - \( \frac{\partial R}{\partial z} = 2z \) Portanto, a divergência é: \[ \nabla \cdot F = 0 + 2z + 2z = 4z \] No ponto \( (1,0,2) \): \[ \nabla \cdot F(1,0,2) = 4 \cdot 2 = 8 \] 2. Cálculo do rotacional: O rotacional de um campo vetorial \( F \) é dado por: \[ \nabla \times F = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \hat{i} - \left( \frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z} \right) \hat{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \hat{k} \] Calculando as derivadas: - \( \frac{\partial R}{\partial y} = 0 \) - \( \frac{\partial Q}{\partial z} = 2y \) - \( \frac{\partial R}{\partial x} = 0 \) - \( \frac{\partial P}{\partial z} = 0 \) - \( \frac{\partial Q}{\partial x} = 0 \) - \( \frac{\partial P}{\partial y} = -1 \) Portanto, o rotacional é: \[ \nabla \times F = (0 - 2y) \hat{i} - (0 - 0) \hat{j} + (0 - (-1)) \hat{k} = -2y \hat{i} + 0 \hat{j} + 1 \hat{k} \] No ponto \( (1,0,2) \): \[ \nabla \times F(1,0,2) = -2 \cdot 0 \hat{i} + 0 \hat{j} + 1 \hat{k} = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} + 1 \hat{k} = \hat{k} \] 3. Produto entre divergência e rotacional: O produto entre a divergência e o rotacional no ponto \( (1,0,2) \) é: \[ 8 \cdot \hat{k} = 8 \] Agora, analisando as alternativas: A (-3,2,1) B (2,-2,1) C (-1,2,4) D (1,-2,1) E (1,2,0) Nenhuma das alternativas parece corresponder ao resultado que encontramos, que é 8. Portanto, a questão pode estar mal formulada ou as alternativas não estão corretas. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!