Para determinar a relação entre a reta Γ e o plano a, precisamos analisar a reta definida pelos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6) e a equação do plano 2x - y + 3z = 7. 1. Encontrar o vetor diretor da reta Γ: O vetor diretor pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B: \[ \vec{AB} = B - A = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3) \] 2. Identificar o vetor normal do plano: A equação do plano 2x - y + 3z = 7 pode ser reescrita como 2x - y + 3z - 7 = 0. O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de x, y e z, que são (2, -1, 3). 3. Verificar a relação entre a reta e o plano: - Para a reta ser paralela ao plano, o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano. Isso é verificado pelo produto escalar: \[ \vec{AB} \cdot \vec{n} = (3, 3, 3) \cdot (2, -1, 3) = 3*2 + 3*(-1) + 3*3 = 6 - 3 + 9 = 12 \neq 0 \] Portanto, a reta não é paralela ao plano. - Para a reta ser perpendicular ao plano, o vetor diretor da reta deve ser paralelo ao vetor normal do plano, o que não é o caso aqui. - Para verificar se a reta está contida no plano, substituímos as coordenadas de A e B na equação do plano: - Para A(1, 2, 3): \[ 2(1) - 2 + 3(3) = 2 - 2 + 9 = 9 \neq 7 \] - Para B(4, 5, 6): \[ 2(4) - 5 + 3(6) = 8 - 5 + 18 = 21 \neq 7 \] Portanto, a reta não está contida no plano. - Para verificar se a reta intercepta o plano em um único ponto, podemos parametrizar a reta e resolver a equação do plano. A reta pode ser parametrizada como: \[ (x, y, z) = (1 + 3t, 2 + 3t, 3 + 3t) \] Substituindo na equação do plano: \[ 2(1 + 3t) - (2 + 3t) + 3(3 + 3t) = 7 \] Simplificando: \[ 2 + 6t - 2 - 3t + 9 + 9t = 7 \implies 12t + 9 = 7 \implies 12t = -2 \implies t = -\frac{1}{6} \] Isso indica que a reta intercepta o plano em um único ponto. 4. Verificar se são coincidentes: Como já vimos que A e B não estão no plano, a reta não é coincidente com o plano. Com base na análise, a alternativa correta é: D) A reta Γ intercepta o plano a em um único ponto.